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DM fonction exponentielle et logarithme
Bonsoir à tous, j'ai quelques difficultés sur ce dm.
Partie A
On désigne par f la fonction définie sur R par f(x)= ex-ex/2 et on appelle C la courbe représentative de f dans le repère (o;i,j).
1) Etudier les variation de f et ses limites en - l'infini et en + l'infini . Puis dresser le tableau de variation de f.
2) Déterminer le signe de f(x) en fonction de x
3) Graphique
4) Soit m un réel, résoudre graphiquement, suivant les valeurs de m, l'équation f(x)=m. Si m=1, résoudre algébriquement l'équation f(x)=1.
Partie B
Dans cette partie, on se propose d'étudier la fonction g sur ]0;+[ par g(x) = ln (ex-ex/2). On note la courbe représentative de g dans le même repère.
5) Préciser les limites de g en 0 et en + l'infinie.
6) Calculer g'(x), et déterminer le signe de g'(x) en utilisant le signe de f'(x) et le signe de f(x).
7) Démontrer que, pour tout réel x >0 : g(x) - x = ln (1-e-x/2) Montrer que la droite D d'équation y=x est asymptote à la courbe. Etudier la position de la courbe par rapport à D
A la question 1 j'ai calculé la dérivée de f(x) et je trouve f'(x) = e^x - 1/2e^x/2
Jai étudié ces variations et je trouve que f'(x) est négatif dans l'intervalle de - l'infinie à O, s'annule en 0, et f'(x) est positif dans l'intervalle 0 à + l'infinie. Je ne sais pas si c'est juste
Ensuite pour les limites je trouve lim f(x)en + l'infinie = + l'infinie
et lim f(x) en - l'infinie = 0
A la question 2 j'ai trouvé que le signe de f(x) est positif
Pour le graphique pas de soucis
Pour la question 4 je ne sais pas du tout comment faire
A la question 5 j'ai trouvé que lim g(x) en 0 = - l'infinie
et lim g(x) en + l'infinie = + l'infinie
Je bloque également pour la fin de l'exercice
Merci pour votre aide !
Bonjour, f(x)> 0 
non pour x négatif, elle est négative
Pour 4) tu coupe ce graphe par une droite horizontale et tu vois bien le nombre d'intersections que ça donne suivant les valeurs de m (tu as dû trouver que le minimum atteint pour x=-2ln2 vaut -1/4)
f(x)=1 
ex=ex/2+1 ça n'est qu'une équation du second degré en ex/2, on trouve x= -2 (ln(2)-ln(1+
(5)))
Pour g(x) tes limites sont bonnes
Montre que g(x)-x tend vers 0 ça montrera que y=x est bien asymptote.
Pour résoudre ex=ex/2+1 ? On pose X=ex/2 l'équation s'écrit X²=X+1 donc X²-X-1=0
on la résout en calculant le discriminant on trouve X=(1
5)/2, on ne garde que la racine positive puisque X=ex/2 est positif. et on résout ex/2=(1+5)/2.
Pour cela on prend le ln des deux cotés. x/2=ln[(1+5)/2] donc x=2ln[(1+5)/2]
Merci beaucoup !
Quelqu'un pourrait-il me dire si la question 1 est juste ??
La suite ne pose pas de problème mais j'ai toujours des doutes sur cette question !
la dérivée est bien e^x - 1/2e^x/2 mais ça n'est pas en 0 qu'elle s'annule (en 0 ça vaut 1/2 !)
regarde mon graphe, le minimum est avant 0, elle s'annule pour 2ex=ex/2 ln2 + x = x/2 x=-2ln2 et l'ordonnée du minimum est -1/4
c'est cette valeur qui est utile pour discuter du nombre de solutions de f(x)=m, si m<-1/4 c'est 0, si m=-1/4 c'est 1, si m entre ]-1/4 et 0[ c'est 2 et si m
0 c'est 1
Et en ce qui concerne la limite de f(x) en - l'infinie, ce n'est pas 0 alors ?
Jai beau refaire les calculs je trouve toujours cette valeur!
est bien 0
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