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DM fonctions (continuité, dérivabilité, etc)
Bonjour à tous !
Mes lacunes en maths depuis le début de ma Tle S m'incitent à vous demander de l'aide pour un exercice de DM à rendre à la rentrée.
Voici l'énoncé :
Soit la courbe C, représentative de la fonction f définie sur [0;2] par f(x)=x
x(2-x).
1)a. D'après le graphique, la fonction f semble-t-elle continue sur [0;2] ?
b. Justifier votre conjecture.
2)a. D'après le graphique, la fonction f semble-t-elle dérivable en 0 ? en 2 ?
b. Démontrer vos conjectures.
3) Dresser le tableau de variation complet de f.
4)a. Démontrer que l'équation f(x)=1 admet sur [0;2] deux solutions distinctes notées 
et 
(avec <)
b. Lire graphiquement des valeurs approchées de et .
c. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de d'amplitude 0,01. Celui-ci est-il cohérent avec la lecture graphique de la question précédente ?
Voici mes réponses et pistes de recherche :
1)a. La courbe représentative de f (C) sur [0;2] a un tracé qui s'est fait "sans lever le crayon". Donc d'après le graphique, f est continue sur [0;2].
b. Je ne sais pas comment justifier mathématiquement parlant.
2)a. Ici, gros problème. Je ne comprends pas comment on peut savoir graphiquement si une fonction est dérivable ou non en un réel.
b. Là, je sais qu'il faut faire le calcul du taux et de sa limite, mais je ne sais pas comment conclure.
3) Pour cette question j'ai calculé la dérivée. J'ai trouvé finalement que :
f'(x)=x(2-x) + (x-x2)/x(2-x)
Je me suis ensuite dit que, puisque x(2-x) est toujours positif, le signe de f'(x) dépendait de celui de x-x2.
Mais je dois avoir commis une erreur puisque les valeurs qui annulent x-x2 sont 0 et 1, et ça ne correspond pas au graphique...
4) J'avoue que je ne l'ai pas encore faite, mais je pense m'en sortir en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires et après, c'est de la manipulation de calculette, donc ça devrait aller.
Merci beaucoup d'avance à ceux qui tenteront de m'aider, je leur en serai très reconnaissante !
A bientôt.
Bonsoir, tu peux justifier qu'elle est continue car composée de fonctions continues.
Pour la dérivée, il faut se rappeler que la valeur de la dérivée c'est le coefficient directeur de la tangente. Autrement dit pour qu'elle soit dérivable, il ne faut pas que le coefficient directeur de la tangente soit infini, ou encore que la tangente soit verticale.
Donc graphiquement, pour se faire une idée, il faut regarder :
Merci beaucoup pour cette réponse Glapion !
Je suis stupide de ne pas avoir pensé aux composées. Donc pour la continuité, c'est bon, j'ai compris.
Pour la dérivabilité, je pense avoir trouvé en 2. On voit bien que la tangente est verticale, donc on peut dire que f n'est pas dérivable en 2.
En revanche en 0, j'ai eu plus de mal, mais je pense quand même que la fonction est dérivable en 0. Est-ce que je me trompe ?
Il faut de ce pas que je vérifie mes hypothèses en allant calculer le taux d'accroissement ...
Oui en 0 on voit bien que la tangente n'est pas verticale et donc que la fonction est dérivable.
D'ailleurs tu verras bien puisque tu dois démontrer tes conjonctures.
tu formes l'accroissement f(x)/x = (x(2-x)), et tu vois que la limite est 0 donc f'(0)=0 et la tangente est donc horizontale en x=0 (la fonction est donc bien dérivable en 0).
Salut! Je dois faire le même type d'exercice pour lundi!
J'aurai une question sur la question 1) B)
Alors, pour la 1)b), je dois justifier cette question par:
La fonction u: x ___ x (2-x) est continue comme fonctionpolynôme sur ]- l'infini; -2[ U] 0; +l'infini[ et elle est positive sur I.
La fonction racine carré est continue sur [0;+l'infini[
La fonction g = racine(U) est donc continue sur I comme composée de fonctions continues.
Ma rédaction est elle correcte et bonne?
Ah! Okay! Je vois! Je recommence !
La fonction de x ____ -x²+ 2x est continue comme fonction polynôme sur [0;2]. La fonction racine carrée [0;2]. La fonction f = racine ( u ) est donc continue sur [0;2] comme composée de fonctions continues.
C'est mieux? Aucune faute?
la fonction x --> x(2 - x) est continue et positive sur l'intervalle [0, 2]
(continue car polynome et positive car cours de première)
Ah ! Okay! Merci bien! Mais, en cours mon professeur insiste énormément sur la rédaction. Donc, je voudrais savoir si la rédaction est parfaite sauf pour mon oublie ( du mot positive )?
ma rédaction est parfaite ... puisqu'elle est suffisante pour répondre correctement à la question ... (avec la suite que tu as déjà donnée) puisque je justifie tout ce que je dis ...
Merci bien pour l'explication carpediem .
De plus, j'ai une dernière question portant sur la 4.
Pouvez me donner quelques tuyaux (aides) sur cette question?
Bonjour, j'ai du mal à dresser le tableau de variations et ne suis pas sûr de mes réponses pour la suite de l'exo... Quelqu'un pour m'aider ?
Merci
le tableau de variations, tu peux le vérifier à partir du graphe que j'ai dessiné.
ne suis pas sûr de mes réponses pour la suite de l'exo...
On attend tes réponses alors, sur la suite de l'exo.
à toi de nous montrer ton travail ...
a/ calcul de la dérivée
b/ signe de la dérivée
c/ valeur des extremums
bon enfait ...
Je galerais à calculer la dérivée mais j'ai finit par trouver
f'(x)=(x(2-x) ) + (x(2-2x))/2x(2-x)
puis j'ai dit que le signe dépendait de x(2-2x) car les autres parties étaient toujours positives.
Donc j'ai fait le tableau de signe de x(2-2x) et j'ai trouvé x1=0 et x2=1 donc "+" sur [0;1] et "-" sur [1;2]
Ensuite j'ai fait les variations de f : j'ai mis
0;1;2 sur la ligne de x et lim0=0; lim1=1; lim2=0 Sauf que ça correspond pas aux valeurs graphique pour lim1 (je sais que j'ai faux pour celle-ci)
J'espere être assez clair,(j'ai abrégé pour les limites) si je ne le suis pas hésitez pas à reformuler... Merci
euh j'ai pas précisé mais pour les variations j'ai bien entendu mis "croissant" sur [0;1 ]et "décroissant" sur [1;2]
le sommet n'est pas en x = 1 pourtant !f'(x)=(
x(2-x) ) + (x(2-2x))/2x(2-x)
puis j'ai dit que le signe dépendait de x(2-2x) car les autres parties étaient toujours positives.
f' est de la forme a + b/c
ce n'est pas parce que a et b sont positifs qu'on va conclure quoi que ce soit en regardant seulement b ...
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