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Dm Fonctions pour demain

Posté par toma1 (invité) 06-10-05 à 17:38

Bonsoir à tous,

j'aimerais obtenir de l'aide sur ces 2 questions:

sachant que f(x)= 1/x
j'obtiens que les dérivées successives de la fonction f sont:
f'(x)= -1/x²
f''(x)= 2/x^3
f'''(x)= -6/x^4
f''''(x)= 24/x^5

Ensuite la question consiste à conjecturer l'expression de f^(n)(x) pour tout entier n, n supérieur ou égal à 1.

D'après mes recherches le dénominateur pourrait être -(-x)^(n+1)
ce qui justifierait apparemment l'alternance de nombre positifs et négatifs au numérateur dans les dérivées successives.Mais je ne suis sur de rien.

La deuxieme question est: Démontrer votre conjecture par récurrence( je suis donc bloqué pour la fin de l'exercice)

Merci d'avance et bonne soirée à tous!

Posté par toma1 (invité)re : Dm Fonctions pour demain 06-10-05 à 17:53

c'est pour vendredi donc relativement urgent , est-ce quelqu'un aurait une idée??? merci

Posté par Samourai (invité)re : Dm Fonctions pour demain 06-10-05 à 17:58

Il faut conjecturer que f^(n)(x)=(-1)^{n+1}\frac{n!}{x^{n+1}}.

Posté par
Nightmarere : Dm Fonctions pour demain 06-10-05 à 17:59

Bonjour

J'aurais plutot dit :
3$\rm f^{(n)}(x)=(-1)^{n}\frac{(n-1)!}{x^{n+1}}

Montrons le par réccurence :

Pour n=1 :
3$\rm f^{(1)}(x)=(-1)^{1}\frac{(1-1)!}{x^{1+1}}=-\frac{1}{x^{2}}

La propriété est donc vraie pour n=1

Supposons qu'elle soit vraie pour n=k, on a alors :
3$\rm f^{(k)}(x)=(-1)^{k}\frac{(k-1)!}{x^{k+1}}
donc :
3$\rm f^{(k+1)}(x)=(-1)^{k}\times (-1)\frac{(k-1)!(k+1)}{x^{k+2}}=(-1)^{k+1}\frac{[(k+1)-1]!}{x^{(k+1)+1}}

la propriété est donc aussi vraie pour n=k+1

Par réccurence la propriété est vraie pour tout n


jord

Posté par
Nightmarere : Dm Fonctions pour demain 06-10-05 à 18:00

arf oui autant pour moi ce n'est pas (n-1)! mais n!. erratum

Posté par toma1 (invité)re : Dm Fonctions pour demain 06-10-05 à 18:01

Merci beaucoup pour ta réponse surtout aussi rapidement

Bonne soirée a+

Posté par Samourai (invité)re : Dm Fonctions pour demain 06-10-05 à 18:16

Moi aussi je mets emmêlés dans les indices mais maintenant tu as ta réponse.


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