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DM géométrie et démonstration
Hi everybody!
Un petit appel à l'aide, car là vraiment je me noie : la géométrie n'est déjà pas mon truc, mais quand en plus il s'agit de démontrer certaines notions, rien ne va plus o___O .
Voici mon énoncé :
On considère un tétraèdre quelconque ABDC, et on appelle I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des segments [AB], [CD], [BC], [AD], [AC], et [BD]. Soient A', B', C, et D' les centres de gravité respectifs des triangles BCD, CDA, ABD et ABC.
Soit G l'isobarycentre des points A, B, C et D.
1) Démontrer que G est le milieu des segments [IJ], [KL], [MN].
2) Démontrer que les droites (AA'), (BB'), (CC') et (DD') sont concourantes en G et préciser la position de G sur chacun des segements [AA'], [BB'], [CC'] et [DD'].
3) Quel est l'ensemble des points P de l'espace tels que || PI + PJ || = || KL || ? (tous trois des vecteurs)
Voilou... je suis complètement perdue en fait.
Pour la 1), il faudrait peut-être que je prouve que G est également le barycentre des segments [IJ], [KL] et [MN] pour prouver que G est donc aussi le milieu de ses segments ?
Une idée comme ça, mais que je suis incapable d'exploiter davantage...
J'espère qu'une âme charitable voudra bien m'aider
.
Bonne journée
.
1) Démontrer que G est le milieu des segments [IJ], [KL], [MN].
par associativité du barycentre :
G l'isobarycentre des points A, B, C et D.
<=> G bar (A; 1) (B; 1) (C; 1) (D; 1)
...... or I milieu de [AB] <=> I bary de (A; 1) (B; 1)
<=> G bar (I; 2) (C; 1) (D; 1)
...... or J milieu de [CD] <=> J bary de (C; 1) (D; 1)
<=> ............
...
Oh, merci pour cette réponse rapide =).
Alors, si je continue, ça donne donc :
<=> G bary (I;2) (J;2) <=> donc G milieu de [IJ] ?
Et il me suffit alors de reprendre le même procédé pour [KL] et [MN] ?
Dam pour la question 2, j'avouerai n'avoir aucune idée... :x et j'ai fouillé dans mes exercices faits en cours, je n'ai rien qui ressemble pour pouvoir m'y raccrocher...
pour la question 1/ tu as compris. c'est ça.
pour la 2/
G l'isobarycentre des points A, B, C et D
<=> B bary de (A; 1) (B; 1) (C; 1) (D; 1)
....... or A' centre de gravité de BCD
....... <=> A' bary de (B; 1) (C; 1) et (D; 1)
....... par asociativité du barycentre :
<=> B bary de (A; 1) (A'; 3)
=> B est sur la droite (AA')
similaires pour les autres.
...
Et donc pour préciser la position de G sur le segment [AA'], il suffit de :
BA + 3BA' = O
donc BA = 3/4 A'B ?
Quant à la 3), je suis en train de saisir que tu ne vas guère pouvoir m'aider, à moins que j'essaie de refaire le schéma... Allez, j'vais faire ça, parce que je vais pas m'en sortir toute seule -_-.
Ah okay... merci beaucoup de m'avoir corrigée =).
Tiens, j'ai refait ma figure sur géogebra ; j'espère qu'elle est compréhensible .
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