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DM intégration
Bonjour
Je n'arrive pas à faire cette exo
J'ai fait tout le 1 mais je bloque au 2
alors voila l'exo:
on appelle courbe de lorenz la représentation graphique d'une fonction L vérifiant les conditions suivantes:
L est définie sur [0;1]
L est croissante sur [0;1]
L(0)=0 et L(1)=1
pour tout x de [0;1], L(x)supérieur ou égal a x
1) sois la fonction f définie sur [0;1] par: f(x)=(3/2)x+(1/x+1)-1
a) déterminer la dérivée de f et dressez le tableau de variation de f sur [0;1]
b) déterminez le signe de x-f(x) sur [0;1]
c) déduisez en que la courbe représentative de f est une courbe de lorenz
2) Sur le graphique suivant,la courbe de f est tracée et le segment [AO] ou A est le point de coordonées [1;1]
On appelle coeff de Gini le nbr : alpha / aire du triangle OIA ou alpha est l'aire du domaine hachuré
Voici le graphique : http://www.annabac.com/sites/annabac.com/files/depot/images/2014/rootpannabacMathsTleEsSpeacutecifiqueAmpSpeacutecialiteacutesproot/5ca402049ca3b17bb86fe075f7eecb38.png
A) donnez l'expression de A en utilisant une intégrale.
B) a l'aide d'un logiciel de calcul formel on obtient que la fonction de F définie par F(x)= 3/4 x^2 - x+ ln(x+1) est une primitive sur [0;1] de la fonction f.
Donnez alors la valeur exacte de A puis la valeur arrondie à 0,01 de alpha.
f'(x) = http://www.annabac.com/sites/annabac.com/files/depot/images/2014/rootpannabacMathsTleEsSpeacutecifiqueAmpSpeacutecialiteacutesproot/5ad3a0e7a26d2ff1d0a4c245a6ed5b1b.png
b) x-f(x) = http://www.annabac.com/sites/annabac.com/files/depot/images/2014/rootpannabacMathsTleEsSpeacutecifiqueAmpSpeacutecialiteacutesproot/11fda980dfbc6a8964d01f67fe203f00.png
c) Donc répresentatif de la courbe de Lorentz
Ca va plus vite que de tout écrire 
Bonsoir,
Sur ton graphique, je ne vois pas quel est ton domaine hachuré. Je suppose que c'est sans doute l'aire comprise entre la courbe Cf et le segment [AO].
A) donnez l'expression de A en utilisant une intégrale.
A ?? l'expression de Alpha plutôt.
A) Le segment [AO] a pour équation y=x. Aplha est l'aire comprise entre la courbe Cf et le segment [AO]. Ainsi :
x-f(x) = [x*(1-x)] / 2(x+1)
Donc
Alpha = ton intégrale avec ce que j'ai mis juste avant mais de dois faire quoi au juste...
pour tout x de [0;1], L(x)supérieur ou égal a x
Erreur d'énoncé qui plus est : L(x) inférieur ou égal à x plutôt !!
Tu as donc l'intégrale alpha.
B) On te demande de la calculer. On te donne dans l'énoncé sa primitive F(x). Tu n'as plus qu'à terminer le calcul de l'intégrale.
@Jedoniezh : Je suppose sans doute que son point I est le point de coordonnées (0;1) dans son graphique.
J'ai trouver alpha = -1/2
C'est ça ?
Non !! Ta réponse ne peut pas être négative puisqu'elle est positive sur [0;1] !!
Tu as la primitive F(x) qu'on te donne dans l'énoncé !!
=>
Je suppose sans doute que son point I est le point de coordonnées (0;1) dans son graphique.
Rectification : I(1;0) plutôt oui
!! Ah !
Mais moi, j'ai fait
intégrale de 0 à 1 (x-f(x)) dx
Et donc x-f(x) = [x*(1-x)] / 2(x+1)
Puis j'ai fait :
[x - f(x)] avec 1 en haut et 0 en bas
Puis j'ai calculé
Ceci avec x=1 - ceci avec x=2
Pq j'ai faux ?
MErci
Puis j'ai fait :
[x - f(x)] avec 1 en haut et 0 en bas
NON !! Justement !! C'est une primitive de x-f(x) qui te faut calculer !! Et non pas x-f(x) tout court !!
Or une primitive de x-f(x) t'est directement donné dans la question à l'aide du logiciel de calcul formel => F(x) = 3/4 x^2 - x+ ln(x+1).
Et ainsi tu peux terminer le calcul de ton intégrale.
Oui mais on peut s'aider de F(x) que pour la question B) et non pour la A)
Donc je fais quoio dans la A) ?
Merci
Pour la A), on te demande juste l'expression de l'intégrale !! Pas de la calculer (le calcul tu le fais à la question B)
Donc, ce que tu as dit post 19h23 était correct.
B) Là il faut le calculer !! Donc il faut utiliser une primitive F(x) pour finir le calcul de l'intégrale.
Pour le A), je marque juste ce que t'a marquer alors ?
Et pour le B, je mets la primitive entre crochet ?
Merci
Mais je comprends pas pour je change ce que j'ai entre crochet
Notons x-f(x) = h (x)
Dans le A) : je mets :
alpha = intégrale de 0 à 1 (h(x)) dx
Et dans le B)
alpha = intégrale de 0 à 1 (F(x)) dx Puis je calcule F(1) - F(0)
Dans ce cas la, alpha a 2 valeurs, non ? :/
Le temps que tu me répondes, j'ai fait ça
Rectification de la consigne B :
B) a l'aide d'un logiciel de calcul formel on obtient que la fonction de F définie par F(x)= 3/4 x^2 - x+ ln(x+1) est une primitive sur [0;1] de la fonction f.
Donnez alors la valeur exacte de alpha puis la valeur arrondie à 0,01 de Y.
En fait Y = coeff de Gini = alpha / aire du triangle OIA
B) Donc alpha = F(1) - F(0)
= 3/4 * 1² - 1 + ln(1+1) - 3/4 * 0² - 0 + ln(0+1)
= 0.443 - 0
= 0.443
Le pb, c'est que c'est pas la valeur exacte, alors que faire ?
Donc Y = 0.443 / (1+1 / 2)
= 0.443 / 1
= 0.433
Ou sont mes erreurs ?
Merci
B) Voilà !!
Tu trouves donc après calculs :
alpha = 3/4 - 1 + ln 2 = -1/4 + ln 2. (Valeur exacte de alpha)
= 0.44 (valeur arrondie à 0.01 de alpha) (Attention c'est 2 chiffres après la virgule et non pas 3 !!)
Puis pour le coeff de Gini, puisque l'aire du triangle OIA vaut 1/2, on a ainsi :
Y = 0.44/0.5 = 0.88.
Y = (3/4 - 1 + ln2) / 0.5
Tu peux simplifier 3/4 - 1 au numérateur !!
Du coup : Y = (-1/4 + ln2) / 0.5.
Tu peux le laisser comme ça si tu veux.
Je crois qu'on s'est trompé non ?
Puisque pour calculé alpha, il faut prendre en compte la primitive du triangle OIJ, non ?
Merci...
Pourquoi doutes-tu ?
Que représente alpha ? C'est bien l'aire comprise entre le segment [AO] et la courbe de Lorenz Cf !!
Donc c'est bien l'expression que tu as trouvé à la question 2A).
Oui mais pour le 2)B)
C'est entre crochet [primitive de l'aire du triangle - F(x)] de 0 à 1
Et non que F(x) entre crochet, non ?
Ah la la !!
Tu es en train de t'emmêler avec les histoires de primitive !!
L'aire alpha est donné par la fonction x-f(x) déjà donnée à la question 2B).
Puis à la question 2C), on te donne directement une primitive F(x) de la fonction x-f(x) !!
Donc tous les calculs qu'on vient de faire sont corrects.
Ah, après vérification, tu as tout à fait raison !!
Désolé.
L'aire alpha est donnée par x-f(x).
Sa primitive est bien x²/2 - F(x) !! Et F(x) est donnée par le logiciel.
Donc après correction :
. (Valeur exacte de alpha)
=> environ 0.06 (valeur arrondie à 0.01 près)
et le coeff de Gini est donc d'environ : 0.12.
Voilà, cette fois-ci il n'y a pas d'erreurs.
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