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DM: Les lunules d'Hippocrate /!\
Bonjour à tous,
Je rencontre un problème de compréhension et je ne sais quoi faire pour commencer cet exercice. J'ai réussi à réaliser la figure (exercice 1) Mais je ne sais pas comment démontrer le théorème dans ce cas là (exercice 1 "question 2" et exercice 2)
II) Bonus: Les lunules d'Hippocrate
Une lunule est une portion de surface limitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune.
Voici le théorème énoncé par Hippocrate:
Soit un triangle ABC rectangle en B.
On trace les demis-cercles de diamètres [AC], [AB] et [BC]. On obtient alors 2 lunules.
La somme des aires des 2 lunules est égale à l'aire du triangle ABC.
1/ Refaire la figure (fait) lorsque AB=4 et BC=3. Démontrez le théorèpe dans ce cas là. (pas fait)
2/ Essayez de démontrer le théorème dans le cas général. On posera AB=c, AC=b, BC=a. (pas fait)
Merci d'avance de vos suggestions, réponses 
PS: le DM est pour le 07/12/2015
Cordialement.
Pour démontrer le théorème, il serait utile d'établir d'abord la relation qui existe entre les aires des trois demi-cercles construits sur les côtés du triangle rectangle, à l'extérieur de celui-ci. Essaie de le faire.
Pour démontrer le théorème, il serait utile d'établir d'abord la relation qui existe entre les aires des trois demi-cercles construits sur les côtés du triangle rectangle, à l'extérieur de celui-ci. Essaie de le faire.
D'accord, merci
Est- ce que c'est correct si je met:
LuB+LuC = DcB + DcC + Triangle - DcA
Les trois termes en Dc s'annulent:
LuB + LuC = Tr
Car DcB+DcC+triangle = DcA/2 ?
Sinon, j'ai pensé à un autre truc:
L'aire du demi-disque de diamètre [AC] soit (π x AC ²) /2, est égal à DcB + DcA + Triangle.
Donc : DcB + DcA + Aire(triangle) = (π x AC²) /2
On fait passer l'aire de l'autre côté pour connaître (DcB+DcA):
DcB + DcA = (π x AC²) /2 - Aire(ABC)
Donc:
Aire du demi-disque de diamètre [AB] soit (π x AC²) /2 est égal à DcB + LuB.
DcB+ LuB = (π x AB²) /2
Aire du demi-disque de diamètre [BC] soit (π x BC²) /2 est égal à DcC + LuC.
DcC + LuC = (π x BC²) /2
Et donc en sommant les deux : LuB + LuC + DcB + DcB = (π x AB²) /2 + (π x BC²) /2
Il suffit donc de remplacer DcB + DcA = (π x AC²) /2 - Aire(triangle) en utilisant la relation:
LuB + LuC + (π x AC²) /2 - Aire(triangle) = (π x AB²) /2 + (π x BC²) /2
Soit
LuB + LuC = πAB²/2 - (π BC²) /2 - (π x AC²) /2 + Aire(triangle)
et par factorisation par (π/2)
LuB + LuC = (π/2) (AC² + AB² - BC² ) + Aire(triangle)
Or, le triangle ABC est rectangle en B
Donc d'après le théorème de Pythagore on a :
AC² = AB² + BC² soit
AB² + BC² - AC² = 0
On vient donc de démontrer que : LuB + LuC = 0 + Aire(triangele)
LuB +LuC = Aire(triangle)
La somme des aires des 2 lunules LuB et LuC est égale à l'aire du triangle ABC.
Alors, est-ce bon ce raisonnement?
Il y a plus simple : exprimer de deux façons différentes l'aire de la partie de la figure située à gauche de l'hypoténuse du triangle.
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