Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre pour Lundi mais je bloque à partir d'une certaine question, pourriez-vous m'aider SVP?

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = ln ( 1 + e^-x ).

1- Soient u et v les fonctions définies sur [ 0, +infini[ par u(t) = ln (1+t)-t  et v(t) = ln(1+t)-t+(1/2)*t²

a) Etudier les variations de u et de v.
Avec les dérivées, j'arrive à u décroissante et v croissante sur l'intervalle, avec u(0) = 0 et v(0) = 0.

b)En déduire que pour tout réel t positif on a: "t - (1/2)*t² <= ln(1+t) <= t".

Pas bien compliqué non plus, u et v sont monotones et ont pour premier terme 0, il suffit donc de faire u(t) <= 0 et v(t) >= 0 et de réussir à isoler ln(1+t) d'un côté.
ln(1+t)-t <= 0    <=> ln(1+t) <= t
ln(1+t)-t+(1/2)*t²     <=>  t - (1/2)*t² <= ln (1+t)

2- Soit n un entier naturel non nul. On considère le nombre : Sn = f(1) + f(2)... + f(n)

a) Démontrer que pour tout entier naturel n on a:
(1-e^-n)/(e-1) - (1/2)*(1-e^-2n)/(e²-1) <= Sn <= (1-e^-n)/(e-1)

C'est ici que je bloque.
Au début, j'ai pensé qu'il fallait remplacer le "t" dans "t - (1/2)*t² <= ln(1+t) <= t" par "(1-e^-n)/(e-1)", mais j'obtenais quelque chose de bizarre avec ln(1+t).

Autre chose à laquelle j'ai pensé, comme "t - (1/2)*t² <= ln(1+t) <= t", alors cela peut aussi marcher avec leurs sommes?

\sum{t - (1/2)*t² } <= \sum{ln(1+t)} <= \sum{t}, en allant de 1 à n.

Du coup, \sum{ln(1+t)} = Sn, il suffit de trouver  \sum{t}, sauf que je ne vois pas quelle formule utiliser (la somme des termes pour une suite géométrique peut-être?).

Il reste une dernière question, mais je devrais pouvoir me débrouiller.

Voila, merci d'avance.