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DM MATH Convexité et continuité

Posté par
ceceliama13
06-10-13 à 10:18

Bonjours , je dois faire ce Devoir Maison et j'ai du mal , ainsi que tout ce que j'ai fait je ne sais pas si c'est bon
énoncer:
Le directeur d'un parc de loisirs a créé un logo pour son site web symbolisant une rampe de lancement. Pour cela, il a construit dans un repère orthonormé d'unité graphique 1cm, la courbe représentative C de la fonction f définie sur [0;5] par: f(x)= 0,125x3- 0,75x2+ 4

1.a. Déterminer f'(x) (je l'ai déjà fait)
1.b. Remontrer que cette courbe C admet en deux point une tangente horizontale.
1.c. Démontrer que le signe de f'(x)est le même que le signe de x-4 sur [0;5]

2. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur [0;5]

3.a. Démontrer que la courbe C admet un point d'inflexion et préciser les coordonnées de ce point d'inflexion
3.b. Déterminer une équation de la tangente T a la courbe C en ce point



Pour la 1 a j'ai trouvée 0.375x²-1.5x

pour la b j'ai cherché le discriminant et trouvé 2.25 puis j'ai cherché x1 et x2 qui est égal à x1= -4 et x2= 0
pour la c je ne sais vraiment pas ce qu'il faut faire
pour la 2 j'ai trouvé

x : 0   -4   0   5
f'(x): + 0 - 0 +
f(x) décroissant puis croissant et enfin décroissant
où 0 = 4 / -4= -16
0 égal 4 / 5= 0.875

pour le 3.a j'ai trouvée un point d'inflexion en -1.5 car j'ai fait f""(x)=0 donc j'ai remplacé les x par 0 .

Je ne sais pas si c'est juste ni comment faire pour la suite, merci.

Posté par
Papy Bernie
re : DM MATH Convexité et continuité 06-10-13 à 10:49

Bonjour,

1)a) BON

b) Il faut résoudre f '(x)=0

Donc résoudre : 0.375x²-1.5x=0

Pas besoin de discriminant. Cela donne :

x(0.375x-1.5)=0

2 solutions :

x=0 ou 0.375x-1.5=0

x=0 ou x=1.5/0.375=4


Pense à vérifier si une mise en facteurs est possible.

On a donc une tgte horizontale en x=0 et x=4.


c)

On a vu que f '(x)=0 a 2 racines : x=0 et x=4.

On peut donc l'écrire sous la forme :

f '(x)=ax(x-4)

On développe :

f '(x)=ax²-4ax²

On compare avec  f '(x)= 0.375x²-1.5x

Ce qui donne a=0.375 et -4a=-1.5 soit a=-1.5/-4=0.375 évidemment.

Donc :

f '(x)=0.375x(x-4)

Sur [0;5] , le facteur 0.375x est positif donc f ' (x) est du signe de  son second facteur (x-4). OK ?

Posté par
Papy Bernie
re : DM MATH Convexité et continuité 06-10-13 à 10:54

2)

f '(x) est du signe de (x-4).

x-4 > 0donne : x > 4.

Donc sur [0;4] , f '(x) < 0

Et sur [4;5] , f '(x) > 0.

x------>0................4....................5

f '(x)->.........-.......0..........+.........

f(x)--->4.........D......0..........C........0.875

D=flèche qui descend

C=flèche qui monte

J'ai calculé f(0) , f(4) et f(5) pour mettre dans le tableau. Tu feras de même.OK?

Posté par
Papy Bernie
re : DM MATH Convexité et continuité 06-10-13 à 10:59

3)
a)

f " (x)=0.75x-1.5

0.75x-1.5 > 0 donne : x > 2

Donc sur [0;2] , f "(x) < 0

Et sur [2;5], f " (x) > 0.

La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=2. Donc la courbe  admet un point d'inflexion en x=2 qui donne f(2)=2.

Coordonnées du point d'inflexion : (2;2)

Posté par
Papy Bernie
re : DM MATH Convexité et continuité 06-10-13 à 11:08

Citation :
3.b. Déterminer une équation de la tangente T a la courbe C en ce point


L'équation d'une tgte à une courbe représentative de la fonction f(x) en un point d'abscisse « a » est donné par :

y=f ' (a) (x-a)+f(a)

Ici a=2

Tu calcules f'(2) et f(2) puis tu arranges.

A la fin , tu auras :

y=-1.5x+5

Je te joins un graph avec la courbe C en noir , la tgte au point d'inflexion en rouge.

DM MATH Convexité et continuité

Posté par
Papy Bernie
re : DM MATH Convexité et continuité 06-10-13 à 11:08

Je ne suis pas là cet ap-midi donc je ne peux pas répondre si besoin.

Posté par
ceceliama13
re : DM MATH Convexité et continuité 06-10-13 à 11:24

Ah et bien merci , les explications sont clairs et précise ! C'est très gentil ! et bien bonne après midi , à bientôt

Posté par
Papy Bernie
re : DM MATH Convexité et continuité 06-10-13 à 11:49

Mais je t'en prie !! Et je suis content que tout te paraisse clair !

Posté par
madyo
re : DM MATH Convexité et continuité 29-10-15 à 10:45


Bonjour, j'ai ce même exercice à traiter et je n'ai pas compris comment faire pour trouver les 2 solutions.

En effet, après avoir trouvé la dérivée dans le 1) j'ai voulu résoudre f'(x)=0 ce qui donne 0.375x²-1.5x=0
J'ai ensuite fait une factorisation -->
<=> 0.375x*x-1.5x=0
<=> x(0.375x-1.5)=0
Ensuite j'ai voulu passer les termes "de l'autre côté" pour isoler x:
<=> x=1.5/0.375
<=> x=4
Mais je ne comprends pas où va ce x

Citation :
2 solutions :

x=0 ou 0.375x-1.5=0

x=0 ou x=1.5/0.375=4  


De plus, je ne comprends pas non plus pourquoi x=0 ou 0.375x-1.5=0  
et x=0 ou x=1.5/0.375=4

Faut-il faire 2 calculs différents pour trouver ces résultats?

Merci, j'espère avoir été assez précise,
A bientôt.

Posté par
Papy Bernie
re : DM MATH Convexité et continuité 29-10-15 à 12:33

Bonjour madyo,

Ok avec toi jusqu'à : x(0.375x-1.5)=0

Et là, il n'est pas question  d'isoler "x" comme tu dis , ce qui est impossible dans une équation du second degré car :

x(0.375x-1.5)=0 est une équation du second degré !!

Tu appliques ( vu en 3ème) :

Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul.

Tu as 2 facteurs donc 2 équations du 1er degré à résoudre.

Donc : x(0.375x-1.5)=0 donne :

x=0  OU  0.375x-1.5=0 --->et pour la 2ème tu isoles "x" car c'est une équation du 1er degré.

x=0  OU  0.375x=1.5

x=0  OU  x=1.5/0.375=4

S=[0;4]

OK ? C'est clair ? Non ?

N'oublie pas :

Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul.

Cela te servira plein d'autres fois.

Posté par
Papy Bernie
re : DM MATH Convexité et continuité 29-10-15 à 12:34

Enfin oui, tu as isolé "x" mais seulement pour la partie : (0.375x-1.5)=0

Posté par
madyo
re : DM MATH Convexité et continuité 29-10-15 à 18:44

Merci beaucoup Papy Bernie pour cette réponse claire et rapide. Je comprends mieux à présent.

Posté par
Papy Bernie
re : DM MATH Convexité et continuité 29-10-15 à 19:00

Citation :
Je comprends mieux à présent.


J'en suis ravi!

Posté par
madyo
re : DM MATH Convexité et continuité 29-10-15 à 21:10

Citation :
On a vu que f '(x)=0 a 2 racines : x=0 et x=4.

On peut donc l'écrire sous la forme :

f '(x)=ax(x-4)

On développe :

f '(x)=ax²-4ax²

On compare avec  f '(x)= 0.375x²-1.5x

Ce qui donne a=0.375 et -4a=-1.5 soit a=-1.5/-4=0.375 évidemment.

Donc :

f '(x)=0.375x(x-4)  


Désolé, j'ai encore une question à propos du développement effectué ci-dessus:
En essayant de développer j'ai trouvé f'(x)=ax²-4ax donc je me demandais comment vous aviez fait pour trouver "-4ax²"

Posté par
madyo
re : DM MATH Convexité et continuité 29-10-15 à 21:21

Pardon, je n'avais pas fini mon message:

Pourquoi doit on écrire sous cette forme: f'(x)=ax(x-4) si ensuite on reprend le premier résultat de la dérivée pour le comparer?
J'essaie vraiment de comprendre ce que je dois faire et je vous prie de m'excuser pour toutes ces questions

Merci, à bientôt.

Posté par
Papy Bernie
re : DM MATH Convexité et continuité 30-10-15 à 09:56

Bonjour madyo,

Citation :
En essayant de développer j'ai trouvé f'(x)=ax²-4ax donc je me demandais comment vous aviez fait pour trouver "-4ax²"


Comme tu t'en doutes , c'est une faute de frappe !! Tu sais , je ne me relis pas toujours, hélas!

Bien sûr : f '(x)=ax(x-4) donne f '(x)=ax²-4ax.

Citation :
Pourquoi doit on écrire sous cette forme: f'(x)=ax(x-4) si ensuite on reprend le premier résultat de la dérivée pour le comparer?


Tu as raison mais alors il faut trouver un autre raisonnement que le mien pour répondre à la 1) c) qui est :

1.c. Démontrer que le signe de f'(x)est le même que le signe de x-4 sur [0;5]

f (x)=0.125x3-0.75x2+4 , ce qui donne :

f '(x)=0.375x2-1.5x

Je te laisse trouver une démonstration pour montrer que ce f '(x) est du signe de (x-4). Tu peux l'envoyer que je la voie si tu as des doutes.

Posté par
celine5777
re : DM MATH Convexité et continuité 20-11-20 à 16:43

hello, jai le même exercice seulement a la fin l'on me demande: Que peut on dire de la position relative de T et de Cf
merci davance

Posté par
hekla
re : DM MATH Convexité et continuité 20-11-20 à 16:53

Bonjour
Donner la position relative des deux courbes c'est dire laquelle est au-dessus de l'autre

Pour ce faire, on étudie le signe de la différence f(x)-g(x)

Posté par
celine5777
re : DM MATH Convexité et continuité 20-11-20 à 16:55

Daccord mais comment étudier le signe de la différence avec f(x)-g(x)
je ne comprend pas bien

Posté par
hekla
re : DM MATH Convexité et continuité 20-11-20 à 17:17

On considère un point M appartenant à la courbe représentative de f . Il a donc pour

coordonnées M\ \binom{x}{f(x)}.

On considère maintenant un point N de même abscisse que M, appartenant à la courbe représentative de g.
Ici  g sera la fonction affine dont la courbe représentative est T. Le point N a donc pour coordonnées  N\ \dbinom{x}{g(x)}

Pour étudier la position relative des deux courbes  on veut savoir si l'ordonnée de M est plus grande que l'ordonnée de N   ou le contraire.

 y_N \leqslant y_M est équivalent à y_M-y_N\geqslant 0 ou encore f(x)-g(x) \geqslant 0

On étudie donc le signe de la différence f(x)-g(x)

si f(x)-g(x) >0 alors y_M>y_N par conséquent la courbe représentative de f est au-dessus  de la courbe représentative de g

si f(x)-g(x) <0 alors y_M<y_N par conséquent la courbe représentative de f est au dessous  de la courbe représentative de g

si f(x)-g(x)=0 alors on a un point d'intersection des deux courbes

Posté par
celine5777
re : DM MATH Convexité et continuité 20-11-20 à 17:39

daccord merci beaucoup pour votre aide

Posté par
hekla
re : DM MATH Convexité et continuité 20-11-20 à 17:48

De rien



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