J'espère que quelqu'un me répondra, je suis élève en terminale s et mon prof de maths m'a donné un devoir maison sur les équations différencielles dans un circuit électrique, je dois le rendre lundi et j'ai travaillé dessus toute la journée mais j'ai quelques difficultés.

Je rappelles le texte et les questions:
Un circuit est constitué d'un condensateur de capacité C=75*10^-6 farads, d'une résistance R=2*10^4 ohms, d'un générateur g et d'un interrupteur.
On ferme l'interrupteur à l'instant t=0 et le générateur délivre alors une tension V.
La tension U aux bornes du condensateur est alors solution sur l'intervalle [0;+ infini [ de l'équation différentielle (1): U(t)+RCU'(t)=V(t)
On suppose que V(t)=6e^(-2/3)t où t est exprimé en secondes .De plus la charge initiale du condensateur impose la condition (2): U(0)=1/3*V(0)
1ère partie:
1- Montrer que (1) peut s'écrire: U(t)+ 1,5 U'(t)= V(t)  (1')
2- Soit g la fonction dérivable sur [0;+ infini[ telle que U(t)= g(t)* e^(-2t/3)
   Démontrer que U est solution de (1') si et seulement si g'(t)= 4
3- Résoudre l'équation différentielle (1')
4- Déterminer alors l'unique solution f de (1') vérifiant (2)
2ème partie: On considère la fonction h définie sur [0;+ infini[ par h(t)=(4t+2)e^(-2t/3)
1- Etudier les variations de la fonction h et dresser son tableau de variations
2- Démontrer que l'équation h(t)=10^-3 possède une solution unique alpha sur l'intervalle [0;20[.
   A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de alpha d'amplitude 1 seconde.
3- L'appareil mesurant U(t) ne détecte pas les tensions inférieures à 10^-3 Volts.
   Pour quelle valeur de t ne détecte-t-il plus la tension U(t)?

J'ai déjà résolu les questions 1 et 2 de la première partie facilement mais je n'arrives pas à trouvé la réponse à la 3.
J'ai transformé (1'): U(t)+ 1,5 U'(t) = V(t)
                      1,5 U'(t) = -1 U(t) + V(t)
                      U'(t) = -U(t)/1,5 + 6e^(-2t/3)/1,5
                      U'(t) =  -2U(t)/3 + 4e^(-2t/3)
J'ai dans mon cours une formule qui me dit que la solution d'une équation différentielle y'= ay + b sont de la forme x -> -b/a + C e^(ax) où C est une constante réelle quelconque.
Seulement ici on aurait a= -2/3 et b= 4e^(-2t/3) , mais a et b doivent être des constantes or ici b dépend de la variable t donc je ne peut pas utiliser la formule de mon cours.
Mon problème est que je ne trouves pas d'autre méthode pour trouver les solutions de cette équation différentielle, j'ai demandé aux autres de ma classe mais ils ont utilisé la formule du cours sans prendre compte du fait que b n'est pas constant pour avoir quelque chose sur leur feuille.
Je dois rendre mon devoir lundi donc si quelqu'un pourrait m'aider ce soir ou demain matin se serait gentil.
Je précises que je ne cherches pas juste à ce que l'on me donne les réponses, j'ai déjà beaucoup cherché avant de venir ici et je souhaite surtout comprendre, pas juste la réponse puisque de toute façon mon DM ne sera pas noté et j'ai un devoir de 4h la semaine prochaine et le DM sert aussi à le préparer.

Merci d'avance à tous ce qui me répondront, même trop tard.