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Niveau Maths sup
DM nombre de diviseurs positifs de n
Posté par dbmonkey (invité)
Salut,
j'ai un dm a rendre la semaine prochaine mé je bloque complétement sur l'un des exercices.Je vous demande donc de l'aide.
Voici l'exercice :
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. on décompose n en produits de facteurs premiers :
a1 a2 ar
N= p1 p2 … pr . On note d(n) le nombre de diviseurs positifs de n.
1.Démontrer que d(n) = (a1+1) (a2+1) … (ar+1).
2.Calculer d(360), d(2000), d(17500).
3.Quel est le plus petit entier naturel ayant exactement 16 diviseurs positifs ?
4.Démontrer que n est un carrée parfait si et seulement si d(n) est impair.
5.Démontrer que pour tout entier n, nd(n) est un carré parfait et plus précisément que c'est le carré du produit de tous les diviseurs positifs de n. Donner un exemple.
je n'ai fait que la question 2.
et le reste je suis perdu
Merci d'avance
Dbmonkey
1)Il suffit de remarquer que la décomposition en facteur premier de tout diviseur de N ne peut comporter que les facteurs p1,... pr à des puissances <= a1,... ar
On obtiendra donc tous les diviseurs sous la forme p1^b1...pr^br où bi peut prendre toutes les valeurs entre 0 et ai soit (ai+1) valeurs
3) pour avoir 16 diviseurs, puisque 16=15+1=(7+1)(1+1)=(3+1)(1+1)(1+1)=(3+1)(3+1)=(1+1)(1+1)(1+1)1+1)
on peut avoir un nombre de la forme p^15 ou p^7*q ou p^3*q*r ou p^3*q^3 ou p*q*r*s où p,q,r,s sont des nombres premiers distincts
Les nombres minimaux de ces formes sont respectivement 2^15, 2^7*3, 2^3*3*5, 2^3*3^3, 2*3*5*7 soit 32768, 384, 120, 168 et 210
Le nombre minimum est donc 120=2^3*3*5
4) d(n) est impair si et seulement si tous ses facteurs sont impairs donc si tous les ai sont pairs donc si n est un carré
5)n^d(n) est un produit de termes pi^(aid(n)=pi^(2*(ai(ai+1)/2)*(d(n)/(ai+1)=(pi^(ai(ai+1)/2)(d(n)/(ai+1))^2 puisque ai(ai+1)/2 est un entier (égal à 1+2+...+ai) et d(n)/(ai+1) est un entier, produit de facteurs du type aj+1 où j?i
n^d(n) est donc le carré du produit des termes pi^(d(n)/(ai+1))(1+...+ai))
Le produit de tous les diviseurs de n a les mêmes facteurs premiers que n, et le facteur pi se rencontrera à chacune des puissances aj<=ai un nombre de fois égal au nombres de diviseurs de n/pi^ai soit d(n)/(ai+1): il est donc bien égal au produit des pi^(d(n)/(ai+1)(1+...+ai)