Bonjour les matheux,
J'ai un DM à rendre ***** en proba/stat sur le chapitre Estimation et test et je suis un peu en galère. Je vous mets ci-dessous les questions, j'espère que quelqu'un pourra m'aider. Je vous mets toutes les questions mais moi je suis juste bloqué aux questions 12,13,14,et 15.

Exercice :
Robin fait du tir à l?arc. Soit p ]0, 1[ la probabilité qu?a Robin d?atteindre la cible lors d?un
tir.
Après une série de n tirs de Robin, on note Xn la variable aléatoire comptant le nombre de
tirs réussis et Yn = Xn/n la fréquence de tirs réussis.
1. Donner la loi de Xn, puis son espérance et sa variance.
2. En déduire l?espérance et la variance de Yn.
3. Pour n = 20 et p = 0.7, simuler une série de n tirs et calculer les valeurs observées de Xn
et de Yn. Recommencer 2 fois cette simulation et ces calculs.
4. Pour n = 20 et p = 0.7, faire ns = 500 simulations d?une série de n tirs et afficher
uniquement les 2 diagrammes en barres des fréquences des valeurs observées de Yn et de
la loi de Yn.
5. Interpréter le résultat de la question précédente, à l?aide des résultats du cours.
6. Pour tout j {1, . . . , ns}, on note fy[j] la proportion de tirs réussis lors de la j-ème série
de n tirs. Tracer la courbe de k 7 my(k) = 1
k
Pk
j=1 fy[j], pour k = 1, . . . , ns.
7. Commenter l?allure de la courbe de la question précédente, à l?aide des résultats du cours.
8. Proposer un « bon » estimateur pb de p fondé sur le résultat de cette simulation de n·ns =
10 000 tirs. Justifier votre réponse. Calculer la valeur de |pb- p|.
9. En utilisant l?inégalité de Bienaymé-Tchebychev, peut-on dire que l?estimation pb de p
(supposé inconnu) a été obtenue par une méthode qui donnait au moins 90% de chances
d?avoir |pb- p| < 1% ?
10. À l?aide de GeoGebra, donner une valeur approchée de la probabilité d?avoir |pb-p| < 1%
lorsque p = 0.7.
11. En utilisant l?inégalité de Bienaymé-Tchebychev, avec quelle erreur peut-on dire que
l?estimation pb de p (supposé inconnu) a été obtenue par une méthode qui donnait au
moins 95% de chances d?avoir |pb- p| < erreur ?


Avant un entraînement intensif avec l?entraîneur Guillaume, la probabilité de réussite
de Robin était de 70% (p = 70%). Robin veut savoir si l?entraînement a augmenté son
habileté (p > 70%). Robin décide que l?entraînement a été efficace s?il réussit au moins 17 tirs dans une série de 20 tirs. Si, dans une série de 20 tirs, au moins 17 tirs sont réussis, on dit que la série est OK.
12. On suppose que l?entraînement a été inefficace. Quelle est la probabilité que Robin décide,à tort, que l?entraînement a été efficace, au vu du résultat d?une série de 20 tirs ? Et quelle est la probabilité que Robin décide, à juste titre, que l?entraînement a été inefficace ?

13. En utilisant la liste précédente des ns = 500 simulations d?une série de n tirs, tracer la courbe fOK(k) donnant la fréquence des séries OK pour k séries observées, k = 1, . . . , ns.
14. Interpréter le résultat de la question précédente, à l?aide des résultats du cours.
Robin, pessimiste, pense que l?entraînement était peu efficace et que maintenant p = 75%.
On définit les deux hypothèses H0 : « p = 70% » et H1 : « p = 75% ».
Si X20 > 17 alors Robin choisit H1, sinon il choisit H0.
15. Sous les deux hypothèses calculer P(X20 > 17). En déduire, sous chacune des deux
hypothèses, H0 puis H1, les probabilités que le choix de Robin soit correct, puis les
probabilités que le choix de Robin soit incorrect ? Pensez-vous que le critère de Robin
fonctionne bien pour distinguer H1 de H0 ?