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dm sans solution

Posté par yanpat (invité) 04-10-05 à 10:04

Bonjour,

Voici un Dm avec aucune idée par ou prendre le PB.

Soit une cloche à fromage ( une demi sphére).
Quel est le fromage de forme cylindrique maximun que nous pourons mettre sous la cloche.
Ce fromage tangentera la cloche à l'intérieur et reposera sur le fond de celle ci. ( tout cela sans intégral pour le moment le cours est sur les dérivée)

La cloche est de rayon Y et hauteur Hc.
Le fromage sera de rayon X et hauteur Hf
Exprimer le volume des deux est simple mais ensuite....

Toutes les idées ou solutions seront les bienvenues.

Merci d'avance.

Cdlt







Posté par philoux (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 10:40

Bonjour

j'appelle y la hauteur du fromage, x so rayon  et R celui de la cloche

V(x)=y.pi.x²

x²+y²=R² => y=rac(R²-x²)

V(x)=pi.x².rac(R²-x²)

tu cherches le max de cette fonction V de x

dérivée V'(x)=x(2R²-3x²)/rac(R²-x²)

s'annule et prend son max en x=R.rac(2/3)

V=pi.R^3.rac(4/27)

Vérifies...

Philoux

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : dm sans solution 04-10-05 à 10:49

Soit une coupe dans la cloche et le cylindre (voir dessin).

Equation du cercle (coupe de la cloche)
x²+y² = Y²

Soit P(X  ; \sqrt{(Y^2-X^2)})    
H_f = \sqrt{(Y^2-X^2))

Volume du cylindre = Pi.X^2.\sqrt{(Y^2-X^2)

V(X) = Pi.X^2.\sqrt{(Y^2-X^2) avec X dans [0 ; Y].

V'(X) = Pi. (2X.\sqrt{(Y^2-X^2)} - \frac{X^3}{\sqrt{Y^2-X^2}})  

V'(X) = Pi. (\frac{2X(Y^2-X^2) - X^3}{\sqrt{Y^2-X^2}})  

V'(X) = Pi.(\frac{-3X^3+2XY^2}{\sqrt{Y^2-X^2}})  

V'(X) = -Pi.X.(\frac{3X^2-2Y^2}{\sqrt{Y^2-X^2}})  

V'(x) > 0 pour X dans ]0\ ;\ \sqrt{\frac{2}{3}}Y[ --> V(x) est croissante.
V'(x) = 0 pour X = \sqrt{\frac{2}{3}}Y[
V'(x) < 0 pour X dans ]\sqrt{\frac{2}{3}}Y\ ;\ Y[ --> V(x) est décroissante.

V(x) est donc maximum pour X = \sqrt{\frac{2}{3}}Y

On a alors H_f = \sqrt{(Y^2-\frac{2}{3}Y^2) = \frac{Y}{\sqrt{3}}
-----

Le fromage de volume max est tel que:
X = \sqrt{\frac{2}{3}}Y
et
H_f = \frac{Y}{\sqrt{3}}

Son volume est alors:
V = Pi.\frac{2}{3}.Y^2.\frac{Y}{\sqrt{3}}
V = \frac{2Pi}{3\sqrt{3}}.Y^3
-----
Sauf distraction.  



dm sans solution

Posté par philoux (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 10:51

erreur dans le calcul de V = 2piR^3.rac(5)/9

A vérifier

Philoux

Posté par yanpat (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 10:54

Merci pour vos réponses, je vais repassser tout cela au calme.

A+

Posté par philoux (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 10:55

SAlut J-P

tu trouves Vmax=2piR^3/rac(27)

alors que je trouve Vmax=2piR^3.rac(5)/9

kikabon ?

Philoux

Posté par yanpat (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 10:57

Philoux, jp je ne saurais vous départager...

Posté par yanpat (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 10:57

Philoux, jp je ne saurais vous départager...

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : dm sans solution 04-10-05 à 10:59

kikabon ?

C'est moi. Enfin je pense.


Posté par philoux (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 11:08

oui yanpat : c'est JP kabon

La courbe en image...

Philoux

dm sans solution

Posté par yanpat (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 11:10

Les gars c'est super de voir cette éfficacité et entente sur une divergence temporaire de la solution.

Félicitation à vous et merci

Cordialement

Posté par philoux (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 11:12

de rien yanpat

c'est ton fils/ta fille qui est en term ou tu reprends des études ?

Philoux

Posté par yanpat (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 11:20

C'est mon fils qui est en term S.

Des souvenirs ( vieux souvernirs) me disaient que cela passait par les dérivées pour trouver le max de la fct mais était incapable d'expliquer. ( de vieux exercices de physique sur le lancé d'un projectil pour trouver le jet maximum en fonction de l'angle du lancé me rappelait l'utilité des dérivées.
Enfin pour ce qui est de mon fils,Je ne vais pas lui donner la solution et de plus Je pense qu'il doit revoir son cours car tout me laisse à croire qu'il n'a pas compris l'utilité de la dérivée d'une fct.

a+

Posté par philoux (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 11:27

ok

n'hésites pas à voir/lui faire vir les cours et exos corrigés de l'île :

ici : [lien]

Philoux

dm sans solution

Posté par yanpat (invité)re : dm sans solution 04-10-05 à 11:37

Philoux,

Merci pour les liens c'est excellent.

Cordialement


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