excusez-moi, il y a eu un problème quand j'ai posté, voila le sujet encore une fois :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,−→u ,−→v). L'unité graphique
est 4 cm.
Soit λ un nombre complexe non nul et différent de 1.
On définit, pour tout entier naturel n, la suite (zn) de nombres complexes par :
z0 = 0
zn+1 = λ· zn +i
On note Mn le point d'affixe zn.

1. Calcul de zn en fonction de n et de λ.

a. Vérifier les égalités : z1 = i ; z2 = (λ+1)i ; z3 = (λ2 +λ+1)i.
b. Démontrer que, pour tout entier n positif ou nul : zn =((λ^n −1)/(λ−1)).i

2. Étude du cas λ = i.

a. Montrer que z4 = 0.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer z(n+1) en fonction de zn.
c. Montrer que M(n+1) est l'image de Mn par une rotation dont on précisera le
centre et l'angle.
d. Représenter les points M0 ,M1, M2, M3 et M4 dans le repère (O,−→u ,−→v ´).

3. Caractérisation de certaines suites (zn).

a. On suppose qu'il existe un entier naturel k tel que λ^k = 1.
Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a l'égalité : zn+k = zn.
b. Réciproquement, monter que s'il existe un entier naturel k tel que, pour tout
entier naturel n on ait l'égalité z(n+k) = zn alors : λ^k = 1.

bonjour,

j'ai répondu à la question 1a et suis maintenant à la question 1b, j'ai essayé de démontrer par récurrence mais suis bloqué. Est-ce que je suis sur la bonne piste / avez-vous quelques idées?
Merci

Bonsoir, j'ai un DM avec lequel j'ai besoin d'aide, voici l'énoncé :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,−→u ,−→v). L'unité graphique
est 4 cm.
Soit λ un nombre complexe non nul et différent de 1.
On définit, pour tout entier naturel n, la suite (zn) de nombres complexes par :
z0 = 0
zn+1 = λ· zn +i
On note Mn le point d'affixe zn.

1. Calcul de zn en fonction de n et de λ.

a. Vérifier les égalités : z1 = i ; z2 = (λ+1)i ; z3 = (λ2 +λ+1)i.
b. Démontrer que, pour tout entier n positif ou nul : zn =((λ^n −1)/(λ−1)).i

2. Étude du cas λ = i.

a. Montrer que z4 = 0.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer z(n+1) en fonction de zn.
c. Montrer que M(n+1) est l'image de Mn par une rotation dont on précisera le
centre et l'angle.
d. Représenter les points M0 ,M1, M2, M3 et M4 dans le repère (O,−→u ,−→v ´).

3. Caractérisation de certaines suites (zn).

a. On suppose qu'il existe un entier naturel k tel que λ^k = 1.
Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a l'égalité : zn+k = zn.
b. Réciproquement, monter que s'il existe un entier naturel k tel que, pour tout
entier naturel n on ait l'égalité z(n+k) = zn alors : λ^k = 1.


J'ai pas pu répondre à beaucoup de questions, seulement 1a et 2a...  J'ai aussi essayez de démontrer la 1b par récurrence mais je me retrouve bloqué à l'hérédité.
Merci d'avance pour ceux qui ont la gentilesse de m'aider

/pat

*** message déplacé ***

Bonsoir,
La récurrence marche bien:
Vrai pour n=0: OK
Supposons vrai pour n: z(n)=[^n-1]/[-1]*i
Alors pour n+1:
z(n+1)=z(n)+i:
remplaces z(n) par l'expression précédente, factorises i, puis tout au même dénominateur...

*** message déplacé ***

bonjour,
vraie pour n=2

donc  la relation est vérifiée au rang n+1

dsl je n'étais peut etre pas clair, c'est (λ^n)-1 et pas λ^(n-1)

*** message déplacé ***

C'est bien ce que j'avais compris, et c'est ainsi que je l'ai fait, ça marche!
Tu veux les étapes ou tu tentes le coup tout seul?

*** message déplacé ***

détaille un peu stp
je comprends pas comment tu arrives à z(n+1)=λz(n)+i  puisque z(n+1)=λ· zn +i et là on a λ^n  :S

*** message déplacé ***

Je le sors de là:

ah oui, c'est bon, j'ai trouvé maintenant, merci bcp

*** message déplacé ***

ah, il semble que j'ai fait une erreur, à la question 2b c'est plutôt "Pour tout entier naturel n, exprimer z(n+4) en fonction de zn."

*** message déplacé ***

Bonjour
Je dois réaliser le même exercice mais j'ai du mal à vérifier l'égalité de z3
Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît

Je note lambda=.
z₃=lambda*z₂+i=lambda*(lambda+1)*i+i=(lambda^2+lambda+1)*i

Dans l'exercice Zn le (i) passe ou la fin?