Bonjour tout le monde!
Tout d'abord voici l'énoncé de mon DM :


ABCD est un tétraèdre.
                                             →          →   →          →      →          →
Soit les points E, F et G tels que AE = 1/3 AB, AF = 1/2 AC et AG = 3/4 AD.

1) Prouver que les droites (BF) et (CE) sont sécantes. On appellera K leur point d'intersection.
On admet que (CG) et (DK) sont sécantes et on appelle L leur point d'intersection.

2) Démontrer que les droites (BL) et (DK) sont sécantes. On appelle S leur point d'intersection.

3) On veut déterminer la position de S sur le segment [BL].
a) Démontrer que E est le barycentre de {(A ; 2) , (B ; 1)}.
On admet que F est le barycentre de {(A ; 2) , (C ; 2)} et que G est le barycentre de {(A ; 2) , (D ; 6)}.
b) Démontrer que K est le barycentre des points A, B et C munis de coefficients qu'on précisera.
On admet que L est le barycentre de {(A ; 1) , (C ; 1) , (D ; 3)}.
                →                      →
c) Exprimer BS en fonction de BL.

4) La droite (AK) coupe (BC) en P, la droite (AL) coupe (CD) en Q. Les droites (DP) et (BQ) se coupent en R. Les droites (BL), (DK) et (AR) sont-elles concourantes ?
                                             →    →         →
5) Soit le repère de l'espace (A ; AE ; AF ; 1/3 AG).
a) Déterminer des représentations paramétriques des droites (BL), (DK) et (AR).
b) Démontrer, en utilisant ces représentations paramétriques, que les droites (BL), (DK) et (AR) sont concourantes.

6) Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que :
   →       →    →        →     →      →
║2MA + MB +2MC║=║MA + MC + 3MD║

7) Déterminer l'ensemble F des points M de l'espace tels que :
    →     →     →         →     →     →
║2MA + MB +2MC║=║2MA - MB - MC║

8) On note I le milieu de [AB] et J celui de [CD]. m est un réel.
On considère Gm le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, 1), (C, m-2) et (D, m) lorsqu'il existe.
a) Préciser l'ensemble G des valeurs de m pour lesquelles Gm existe.
                →                        →         →
b) Exprimer IGm en fonction de IC et de ID.
c) En déduire que Gm appartient à un plan fixe P.
                      →
d) Prouver que mJGm est un vecteur constant. Préciser ce vecteur.
e) En déduire l'ensemble des points Gm du plan P lorsque m décrit G.


J'ai plusieurs problème dans ce DM, les barycentres c'est vraiment pas du tout mon truc, et j'aimerais que vous m'aidiez à les résoudre. Donc voilà la longue liste de mes questions...
Pour la 2), je pensais qu'on pourait prouver qu'elles sont sécantes en démontrant qu'elles se trouvent dans le même plan, c'est à dire démontrer que L appartient au plan (DBK), mais je n'y parvins pas.
Pour la 3) b), peut-être qu'il faut démontrer que K est le barycentre de (E;3) et C, mais je ne suis pas sur que ce soit commme ça que je dois procéder, et je n'y arrive pas de toute façon.
Du coup je suis bloquée pour la c), et j'ai aussi du mal a voir en quoi savoir que K est le barycentre de A,B,C et que L est le barycentre de A,C,D va nous permettre de répondre à la question.
Pour la 4), on sait que (BL) et (DK) se coupent en S, il faut donc juste démontrer que (AR) passe par S, mais encore là je ne sais pas commment faire.
Pour la 5)a) je trouve les coordonées de B(3,0,0), D(0,0,4) et A(0,0,0). Mais je ne parvins pas à trouver les coordonnées des vecteurs (BL), (DK) et (AR).
Pour la suite je n'ai pas encore trop regardé, mais si vous pouviez me guider en me donnant des lignes directrices ça m'aiderait beaucoup.

Merci a tous, et a bientôt sur ce forum!