Etude d'un algorithme permettant le calcul approché de √5 par des fractions.
Rappel: √5 est la solution positive de l'équation x²-5=0.

1)Principe: A partir d'un nombre rationnel x quelconque et supérieur à √5 on calcule le nombre rationnel y défini par: y=f(x)=1/2(x+5/x)=x²+5/2x.

a)Développer A(x)=(x-√5)². Résoudre l'inéquation: y≥√5. Que peut-on en conclure ?

b)Factoriser B(x)=x²-5. Résoudre l'inéquation: x≥y. Que peut-on en conclure ?

c)On considère le procédé: x --f--> y --f--> z --f--> t ...
Justifier que: √5≤ ... ≤ t ≤ z ≤ y ≤ x . Que peut-on en conclure ?

2)Programmation de l'algorithme:
Programme Casio
? -> X ⤶
Labl 1 : (X+5/X)/2 -> X ⤶
Go to 1 ⤶

-Programmer la calculatrice.
-Faire exécuter le programme en partant de la valeur X demandée (prendre le numéro d'ordre alphabétique du nom de famille plus 2, par exemple pour Durand ce serait X=4+2=6) et recopier sur la copie X et les affichages successifs de la calculatrice jusqu'à la première répétition obtenue.