Fais une recherche, il y a énormement de topics sur la question.

Skops

Message de Zauctorell ici --> Irrationalité de racine de 2


Bon, alors je m'y colle.

1) p/q = implique p²/q²=2, et donc p²=2q².

2) Propriété : le chiffre des unités d'un carré ne peut être que l'un de cette liste :
0 ou 1 ou 4 ou 5 ou 6 ou 9 (et jamais 2, 3, 7 ni 8).
Il suffit de réfléchir à la multiplication des entiers pour s'en convaincre :
si p se termine par 0,alors p² se termine aussi par 0, etc.
Envisager tous les cas sur la copie.

2) a) je viens de répondre.

2) b) Avec ce qui précède, le chiffre des unités de 2q² est nécessairement dans cette liste : 0 ou 2 ou 8.
Il suffit de multiplier par 2 dans la Propriété ci-dessus.

3) a) On suppose que p²=2q².
Alors la seule possibilité commune pour le chiffre des unités de p² et de 2q² est 0.

3) b) p² se termine par 0 si et seulement si p se termine par 0 lui-aussi (d'après l'étude de tous les cas de figure, question 1) a)).
2q² se termine par 0 si et seulement si le chiffre des unités de q est 0 ou 5 (même chose, question 1) b)).

En conclusion, deux cas peuvent survenir :

i) p et q ont 0 pour chiffre des unités ; dans ce cas, la fraction p/q n'est pas irréducible, puisqu'à l'évidence on peut la simplifier (par combien au juste ?).

ii) le chiffre des unités de p est 0 et celui de q est 5, c'est la même conclusion : on peut simplifier par ..., donc la fraction p/q n'est pas irreductible.

3) c) En supposant que p/q irréductible est égale à , on arrive à des conclusions en contradiction avec l'hypothèse (que p/q est irréductible).
Ceci ne se peut, et donc il est impossible de trouver deux entiers p et q tels que p/q=.

Voila
@+