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Niveau quatrième
DM sur le théorème de pythagore .
Posté par romanedu34
Bonjours, j'ai eu pour les vacances un devoir sur le théorème de Pythagore .
L'objectif de cet exercice est de démontrer le théorème de pythagore , cette démonstration est due à J.-A.Garsfield, 20 eme président des Etats-Unis d'Amérique .
La figure de droite est composée de 2 triangles EFK et KLM, identiques au triangle ABC rectangle en C de telle sorte que les points F,K et M soient allignés. a,b et c sont les longueurs des segments correspondants sur la figure.
1. Démontrer que l'angle EKL est un angle droit . ( EKL serai rectangle en K )
2. Ecrire en fonction de a,b et c l'aire des triangle EFK, KLM et EKL.
3. EFML est un trapèze de base [EF] et [LM]. Calculer l'aire du trapèze de deux façons différentes.
4. Conclure.
Je n'arrive pas a faire se devoirs car il n'y a pas de mesures alors que dans le théorème de Pythagore on a besoin de mesures.
Je réponds sans trop me poser de questions ...
EFK = KLM
ce sont des triangles rectangles et isocèles
On a donc des angles de 45°
et comme 45° + 45° = 90°
alors EKL = (180° - 90°) = 90°
aire du trapèze EFML : (a + b)/ 2 * (a + b)
ou
aire EFML = aire des 3 triangles
aire EKL = (a * b)/2
aire EFK = (a * b)/2
aire EKL = (c * c)/2
On pose :
(a + b)²/ 2 = ab + c²/2
(a + b)² = 2ab + c²
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
a² + b² = c²
Bonjour,
en cherchant Garfield sur internet on trouve la bonne figure. (à retournement près)
Bien entendu le triangle ABC est rectangle en C mais n'a aucune raison d'être rectangle isocèle !!
Les deux triangle copies de ABC non plus donc.
L'angle EKL s'obtient par la somme des angles de ABC et l'angle plat en K
le reste du calcul est comme dit Laje.
les propriétés d'angles ici sont : "la somme des angles d'un triangle est 180°", un angle plat (FKM) fait 180°, et deux perpendiculairese à une mêm droite sont parallèles. c'est tout.
pas de Pythagore là dedans (heureusement ! c'est ce qu'on cherche à deémontrer ! ni aucun Thalès non plus.
la première partie de la démonstration de Laje (qui avait pris des angles de 45°) est en fait :
La somme des angles de ABC fait 180°, comme il est rectangle par hypothèse (angle C = 90°) la somme des angles A et B est de 90°
or ces angles A et B sont copiés en MKL d'une part (angle B) et en FKE d'autre part (angle A)
l'angle plat de 180° FKM se décompose alors en
180° = FKE + EKL + MKL = A + EKL + B
EKL = 180° - (A + B) = 180° - 90° = 90°
donc le triangle EKL est un triangle rectangle en K (angle droit en K)
je remets la figure avec les angles identifiés :
