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Dm sur les suites et intégrales
Bonjour, je n'arrive pas à résoudre ce problème pourriez vous me l'expliquer svp.
merci d'avance.
Pour tout entier naturel n non nul, on pose In=
(lnx)^xdx (l'intégrale estd éfinie sur ]1;e[)
1. a) Démontrer que pour tout réel x dans ]1;e[ et pour tout entier n , (lnx)^x -(lnx)^(x+1)>0
b)Déduisez-en que la suite (In) est décroissante.
c)Prouvez que pour tout entier n non nul, In
0 puis déduisez-en que la suite (In) est convergente.
2. a) Calculez I1
b) Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout n non nul, I(n+1) = e-(n+1)In
c) Déduisez-en les valuers exactes de I2, I3, I4. Donnez-en ls avleurs approchées par défaut à 10^-3 près.
3. a) Démontrer que pour tout n non nul, (n+1) In
e et déduisez-en la limite de la suite (In).
b) Quelle est la valeur de nIn+(In+I(n+1)?
Déduisez-en la limite de la suite (nIn)
Dans ton énoncé, In ne dépend pas de n.
Il y aurait une erreur d'énoncé que je n'en serais pas surpris.
dans mon énoncé c'est I(indice n)=(lnx)^n dx.
Je me suis trompé dans mon intégrale désolé.
salut
1a)
pour le 1) il suffit de mettre [ln(x)]^n en facteur dans [ln(x)]^n-[ln(x)]^(n+1)
1b) on fait I(n+1)-I(n) = integrale(1 a e) [ln(x)]^(n+1)-[ln(x)]^n . dx
d'apres 1a) on en deduit que I(n+1)-I(n) =< 0 d'ou le resultat.
c) sur ]1,e[ x-> ln(x) est positive. donc I(n) >= 0 (positivite de l'integrale).
I decroit et est minoree par 0 => elle converge.
2a) I(1) je te laisse faire. indication : integration par parties si tu ne connais pas la primitive de x->ln(x).
b)on derive x->ln(x)^(n+1) et on prend une primitive de x->1
c) decoule de b.
3a) I(n+1) = e-(n+1)In
donc I(n+1)+(n+1)*I(n) = e
comme I(n+1) >= 0 (d'apres 1c) on a (n+1)*I(n) =< e.
de ce fait on en deduit que I(n) =< e/(n+1)
on a donc 0 =< I(n) =< e/(n+1)
lim e/(n+1) =0
n->+oo
par le thoereme des gendarmes : lim I(n) = 0 quand n->+oo.
b)nIn+(In+I(n+1)?
(n+1)*I(n) + I(n+1) = e.
(d'apres 2b)
donc nIn+(In+I(n+1) = e
donc nI(n) = e - [I(n)+I(n+1)]
comme les suites (I(n)) et (I(n+1)) tendent vers 0, la suite (nI(n)) tend vers e.
a+
1/
a)
(lnx)^n -(lnx)^(n+1)= (lnx)^n.(1 - ln(x))
Or avec x dans ]1 ; e[, on a 0 < ln(x) < 1 -->
(lnx)^n -(lnx)^(n+1) > 0
---
b)
(lnx)^n > (lnx)^(n+1) pour x dans ]1 ; e[
S(de 1 à e) [(lnx)^n] dx > S(de 1 à e) [(lnx)^(n+1)] dx
I(n) > I(n+1)
I(n+1) < I(n)
-> La suite In est décroissante.
---
0 <= ln(x) pour x dans [1 ; e[
0 <= (ln(x))^n pour x dans [1 ; e[
Et donc 0 <= S(de 1 à e) [(ln(x))^n] dx
In >= 0
---
c)
La suite In est donc décroissante et minorée, donc la suite In est concergente.
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2)
a)
Intégration par parties.
Poser ln(x) = u -> dx /x = du
et poser dx = dv -> x = v
I1 = 1
---
b)
Poser (ln(x))^(n+1) = u --> (n+1) (ln(x))^n.(1/x) dx = du
et poser dx = dv --> v = x
---
A toi pour la suite ...
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Sauf distraction.
pour faire la question 2 a) je dois bien calculer la primitive de ln(x)^n mais dans le message on m'a indiquer de faire la primitive de ln(x). Pourriez vous m'expliquer s'il vous plait.
merci
slt
question 2 a)
Calculez I1
donc
d'ou
c pour cela que l'on ta indiquer te faire ceci.
@+ sur l'
_ald_
Dans 2a.
On a trouvé I1 = 1
Dans 2b, on a montré que:
I(n+1) = e - (n+1).In
2c)
I(n+1) = e - (n+1).In
Avec n = 1 -->
I(2) = e - (1+1).I(1)
à moins de 0,001 près par défaut.
I(n+1) = e - (n+1).In
Avec n = 2 -->
I(3) = e - (2+1).I(2)
I(3) = e - 3.(e-2)
à moins de 0,001 près par défaut.
I(n+1) = e - (n+1).In
Avec n = 3 -->
I(4) = e - (3+1).I(3)
I(4) = e -4.(6-2e)
à moins de 0,001 près par défaut.
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Pour la suite, voir réponse de minotaure.
Sauf distraction.
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