JE vous remercie d'avance

Par la géométrie analytique.

Choix du repère orthonormé tel que:
A(0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; C(a ; b)

(J'ai pris un repère orthonormé car je ne sais pas si les autres types de repères ont été vus).

On a J(1/2 ; 0) et I(a/2 ; b/2)

droite(CJ)
y = (b/(a-(1/2))x - (b/(2a-1))
y = (2b/(2a-1))x - (b/(2a-1))

droite(BI)
y = (b/2)/((a/2)-1) x - (b/2)/((a/2)-1)
y = (b/(a-2))x - (b/(a-2))

On trouve les coordonnées de G en résolvant le système:
y = (2b/(2a-1))x - (b/(2a-1))
y = (b/(a-2))x - (b/(a-2))

(2b/(2a-1))x - (b/(2a-1)) = (b/(a-2))x - (b/(a-2))
(2/(2a-1))x - (1/(2a-1)) = (1/(a-2))x - (1/(a-2))

x[(2/(2a-1)) - (1/(a-2))] = (1/(2a-1)) - (1/(a-2))
x(2a-4 - 2a + 1) = a-2 - 2a + 1
-3x = -a - 1
x = (a+1)/3

et y = (b/(a-2))(a+1)/3 - (b/(a-2))
y = (b/(a-2)).(a+1-3)/3
y = (b/(a-2)).(a-2)/3
y = b/3

On a donc G((a+1)/3 ; b/3)

Et immédiatement: L(2.(a+1)/3 ; 2b/3)

On a donc:
G((a+1)/3 ; b/3)
B(1 ; 0)
L(2.(a+1)/3 ; 2b/3)
C(a ; b)

vect(GB) = (1 - (a+1)/3 ; -b/3) = ((2-a)/3 ; -b/3)
vect(CL) = (2(a+1)/3 - a ; 2b/3 - b) = ((2-a)/3 ; -b/3)

vect(GB) = vect(CL)
Et donc les cotés GB et CL du quadrilatère sont égaux et parallèles.
-> Le quadrilatère GBLC est un parrallèlogramme
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Il y a bien d'autres manières d'y arriver.

JE te remercie J-P
de m'avoir aider