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Dm TS
ASIE Juin 2003
L'espace E est rapporté à un repère orthonormal (O;
;
;
). Les poits A,B et C ont pour coordonnées respectives: A(3;-2;2) B(6;1;5) C(6-2;-1).
Partie A:
1.Montrer que le traingle ABC est un triangle rectangle.
2. Soit P l eplan d'équation cartésienne x+y+z-3=0.
Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A.
3. Soit P' le plan orthogonal à la droite (AC) et passant par le point A. Déterminer une équation cartésienne de P'.
4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite 
, droite d'intersection des plans P et P'.
Partie B:
1. Soit D le point de coordonnée (0;4;-1).
Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).
2. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
3. Montrerque l'angle géométrique BDC^ a pour mesure 
/4 radian.
4. a) Calculer l'aire du triangle BDC.
b) En déduire la distance du oint A au plan (BDC).
As-tu une idée pour la 2)?
Quelles sont les coordonnées de AB?
Connais tu un vecteur normal du plan x+y+z-3=0?
Les coordonnées de AB sont (3;3;3) et pour le vecteur normal à P (0;0;0)
Par définition un vecteur normal est non nul sinon ca n'as pas vraiment d'intéret tu dois avoir dans ton cours quelque chose qui te donne le vecteur normal à un plan de la forme ax+by+cz+d=0.
Sinon essaye de montrer directement que (3,3,3) est normal.
On peut retrouver ca de cette manière on voit que A appartient à P.
Donc si t'as un point M(x,y,z) de P(x+y+z-3=0), on veut montrer que n(3 3 3) est normal à P cad il est orthogonal à tout vecteur AM cad AM.n=0.
Donc (x-3,y+2,z-2).(3,3,3)=(x-3)3+(y+2)3+(z-2)3=3(x-3+y+2+z-2)=3(x+y+z-3)=0.
ok merci! dc là M(xyz)
à P , de vecteur normal (3,3,3) passabt par A (3,-2,2) c'est bien ça ?
En fait j'ai montre que pour tout point M du plan,(3 3 3) est orthogonal à AM donc (3 3 3) est bien un vecteur normal de P.
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