Voici la pyramide


** image tournée, c'est mieux (recharger la page, CRL+F5 sur ordi) **

Réponse:

1A

AI =AB + 1/2BS
JK= JA + AB + 1/2 BS + IK

Pour le deuxième je ne suis pas sur...

C'est correct pour  .
Pour , essaye d'utiliser et la relation de Chasles pour montrer

Bonjour,
Pour JK, tu pourrais exprimer les vecteurs JA et IK à l'aide des côtés de la base ABCD.

Je te conseille d'utiliser l'idée de Priam pour la 1) et de montrer l'égalité que je propose pour la 2).
Ce sera plus efficace que mon idée de montrer la 1) et la 2) en même temps.

vous voulez dire l'idée de priam pour la question 1.a et la votre pour la b ?

Oui, je n'avais pas vu les notations des questions.

Donc:

JK= JA+AK
JK= 1/2 DA + AK
JK= 1/2DA + AI+ IK
JK = 1/2DA + AB+1/2BS + IK
JK=1/2 (DA+BS) + AB+ IK

Pour IK, regarde ce que donne Chasles en passant par le point S.

IK= IS+SK
IK=1/2BS+ SK

Et donc qu'est ce que ça donne si tu réinjectes cette égalité dans celle de ton message d'avant ?

avec SK= 1/2BS+1/2SC.

DONC,

JK= 1/2DA+AB+1/2BJ+1/4BC

Fautes de frappe ? Sinon je ne vois pas d'où vient ce que tu as écrit

1/2DA + AB+1/2BS +1/2BS+ SK

Ensuite tu utilises que et sont parallèles, et que est le milieu de .
Normalement tu peux conclure après ça

On a (DA) parallèle à (BC) donc 2SK=SC = SD
DONC SK =1/2SD

Mais je suis vraiment pas sur...

SC n'est pas égal à SD (regarde le dessin)

Il s'agissait de remplacer dans l'expression de que tu as donnée

Alors je dirais que 1/2DA=JA
                                 et JA= KI car ABCD est un parallélogramme et parce que K est milieu de SC et I milieu de BS

Cet argument fonctionne s'il est écrit plus rigoureusement (théorème de Thalès par exemple).
Mais apparemment c'est un exercice sur les vecteurs, donc je ne sais pas si cette démonstration est celle attendue

Sinon je pensais à injecter dans l'expression de

Oui je vois ce que vous voulez dire. Mais par quoi puis-je remplacer DA sachant que je dois utiliser le fait que K est milieu de SC et que (AD) est parallèle à (BC) ?

Oupss pardon pour ma réponse précédente j'ai pas vérifier la présence de nouvelles réponses...
donc si je simplifie on a :  JK=1/2CB+ AB+ BS + SK
                                                         JK= 1/2CB + AS+SK
                                                        JK= 1/2CB+ AK

Remplace plutôt SK pour faire apparaître que K est le milieu de [SC]
(ça a l'air de sortir de nulle part, mais si tu te concentres sur ce que ça signifie sur le dessin, tu verras peut-être que la succession d'étapes s'explique entièrement par le dessin)

JK= 1/2CB + AB + BS + 1/2SC
JK= 1/2CB+ AS+ 1/2SC
JK= 1/2(CB+SC) + AS

???

CB + SC = SC + CB, puis I est le milieu de [SB]

Je suis désolé j'ai pas compris...

JK= 1/2CB+AB+BJ+1/2SB+1/2BC
JK= AB+ 1/2BS

CB + SC = SC + CB = SB (Chasles)

Or I est le milieu de [SB] donc (1/2)SB = SI

Ton dernier message fonctionne aussi. Il suffit de faire intervenir le point I, et tu peux ensuite conclure

Le point I doit intervenir dans JK=AB+ 1/2BS ? Mais comment ?

JK= AB+ BI

ON a donc AI=JK

Voilà, donc tu peux répondre à la question 1.a.

Pour la 1.b., j'avais proposé une solution dans mon message de 14h46

Merci Maru0, je continuerai demain la suite du DM.

  b.  Donc je reprends, si AI=JK alors forcément  IK=AJ donc le quadrilatère est un parallélogramme.

c. On a montré que AIJK est un parallélogramme donc forcément les droites (IJ) et (AK) sont sécantes et se coupent en leurs milieu qu'on appellera le point E.

Ce serait plutôt les segments se coupent en leur milieu (plutôt que de parler du milieu d'une droite).
Et c'est sûrement une faute de frappe, mais c'est le quadrilatère AIKJ

oui.

dernière question que je n'ai pas écrite,

Quelle est l'intersection de la droite (IJ) et du plan (SAC) ? Justifier


En regardant le schéma l'intersection semble être le point E, le milieu de [IJ] car le plan (SAC) coupe le segment [IJ] en sa moitié car ABCD est un parallélogramme...

J'ai du mal à justifier.

L'intersection d'un plan et d'une droite non parallèle à ce plan est un unique point.

Donc il suffit de montrer que (IJ) n'est pas parallèle à (SAC) et que (AK) est dans le plan (SAC).

donc pour prouver ma conjecture il me faudrait vérifier les deux conditions ci dessus ?

Il suffit de les vérifier plutôt.

(AK) est dans le plan (SAC) car , déjà le point A forcément appartient à (SAC) et de plus k est le milieu de [SC] donc K appartient à [SC]
Et donc (AK) appartient au plan (SAC).


Ensuite comment montrer que IJ est sécante à (SAC) ?

Utilise la 1.c et ce que tu viens d'écrire.

On a (IJ) qui coupe (AK) en E, leur deux milieux car AIKJ est un parallélogramme. De plus (AK) appartient au plan (SAC). Donc le plan (SAC) va couper la droite (IJ)  en son milieu par le biais de (AK).

Comme je l'ai déjà écrit, le milieu d'une droite ne veut a priori rien dire.

Et je ne vois pas ce que veut dire "un plan coupe une droite par le biais d'une autre droite".

Pourtant il y a une forme de rédaction correcte très courte :
Les droites D et D' s'intersectent en x, or D' est dans le plan P, donc D intersecte P en x.
Or D n'est pas parallèle à P, donc x est le seul point d'intersection de P et D.

Comme (IJ) coupe (AK) et que (AK) appartient au plan (SAC) alors leur point d'intersection sera le même pour (IJ) inter (AK) et (IJ) inter (SAC) soit le point E.

que l'intersection des droites(IJ) et (AK) est le même que celui du plan (SAC) et (IJ). Le même que pour la question c.

Ok, c'est mieux écrit comme ça