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Niveau seconde
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droite d'Euler dans un triangle

Posté par
tornade
06-12-06 à 22:56

bonjour,
j'ai encore un exercice de DM que je ne comprend pas et il faut que je le rende dans deux jours . aidez moi s'il vous plait

ABC est un triangle et O le centre de son cercle circonscrit. A' est le milieu du segment [BC], B' celui de [CA] et C' celui de [AB].

A. caractérisation vectorielle de l'orthocentre
on considére le point H défini par: OH=OA+OB+BC
1) justifier que OB+OC=2OA
2) déduire la relation que AH=2OA
3) démontrer que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires
4) de la meme maniere, démontrer que la droite (BH) est perpendiculaire a la droite(AC)
5) que représente le point H pour le triangle ABC.

B. droite d'Euler
G désigne le center gravité du triangle ABC.
1) en partant de l'égalité GA=-2GA, démontrer que 3OG=OA+2OA.
2)en déduire que 3OG=OH
3)en déduire l'alignement de O, G, H lorsqe le triangle ABC n'est pas équilateral.
4) que peut on dire des points O, G, H dans le cas où ABC est un triangle équilatéral?

ps: ce sont tous des vecteurs

s'il vous plait aidez moi, je n'y arrive pas, aidez moi

merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : droite d'Euler dans un triangle 07-12-06 à 06:25

Bonjour,

A.1) L'énoncé est faux. Il faut montrer que OB+OC = 2OA' (avec un "prime").
Vous avez dû faire cela en cours plusieurs fois.
OB + OC = OA' + A'B + OA' + A'C
OB + OC = 2.OA' + (A'B + A'C)
Or A' est le milieu de [BC]. Donc :
OB + OC = 2.OA'

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : droite d'Euler dans un triangle 07-12-06 à 06:26

A.2) A nouveau, l'énoncé est faux. Il manque un "prime"
A part cela, as-tu vraiment cherché ? Il suffit de remplacer dans la définition de H.
OH = OA + OB + OC
On utilise le résultat précédent :
OH = OA + 2.OA'
OH - OA = 2OA'
AH = 2OA'

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : droite d'Euler dans un triangle 07-12-06 à 06:27

A.3)
Donc (AH) est parallèle à (OA').
Or (OA') est perpendiculaire à ...
Donc...

Posté par
tornade
re : droite d'Euler dans un triangle 07-12-06 à 17:05

bonjour nicolas,

merci pour ton aide, elle m'a était précieuse, mais normalement je suis meilleure que cela en mathématique mais j'ai raté une semaine de cours et je suis un peu perdue.
mais cette fois ci j'aurais besoin d'aide pour le B] je travaille dessus depuis deux heures, et je n'y arrive pas.

merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : droite d'Euler dans un triangle 07-12-06 à 17:24

Malheureusement, je dois quitter l'
Pour avoir plus d'aide de la part des Mathîliens, redonne au moins un énoncé juste pour B]. Celui-ci est plein de fautes (encore des A et A')
Bon courage,

Nicolas

Posté par
tornade
corrigé de l'énnoncé 07-12-06 à 17:35

oui, désolé, j'avais mal recopier mon énnoncé et le revoila corrigé, donc si quelqu'un pouvait m'aider, parce que ... je ne comprend pas tout.

ABC est un triangle et O le centre de son cercle circonscrit. A' est le milieu du segment [BC], B' celui de [CA] et C' celui de [AB].

A. caractérisation vectorielle de l'orthocentre
on considére le point H défini par: OH=OA+OB+BC
1) justifier que OB+OC=2OA'
2) déduire la relation que AH=2OA'
3) démontrer que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires
4) de la meme maniere, démontrer que la droite (BH) est perpendiculaire a la droite(AC)
5) que représente le point H pour le triangle ABC.

B. droite d'Euler
G désigne le center gravité du triangle ABC.
1) en partant de l'égalité GA=-2GA', démontrer que 3OG=OA+2OA'.
2)en déduire que 3OG=OH
3)en déduire l'alignement de O, G, H lorsqe le triangle ABC n'est pas équilateral.
4) que peut on dire des points O, G, H dans le cas où ABC est un triangle équilatéral?

ps: ce sont tous des vecteurs

merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : droite d'Euler dans un triangle 09-12-06 à 06:49

B.1) Le centre de gravité est situé aux 2/3 de la médiane [AA'] à partir du sommet A, donc : GA = -2GA'

Relation de Chasles :
GA = -2GA'
GO + OA = -2GO - 2OA'
3OG = OA + 2OA'

B.2)
3OG = OA + 2OA'
On a vu en A. que 2OA' = AH, donc :
3OG = OA + 2OA'
3OG = OA + AH
3OG = OH

B.3) Donc O, G et H sont alignés.



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