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Niveau maths spé
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Du x^y et du y^x

Posté par
Edin
25-08-16 à 16:45

Bonjour ! voici l'énoncé tiré d'une annale d'un concours pour X
Montrer que
\forall x,y>0,
 \\ x^x+y^y  \ge x^y+y^x

Merci d'avance

Posté par
Flewer
re : Du x^y et du y^x 25-08-16 à 17:50

Bonjour,

C'est le genre d'énoncé où il y a une paramétrisation au bout.. Souvent, on pose y=rx avec r> 1 si on décide de prendre y>x (l'autre cas étant symétrique en général).
On peut alors je pense simplifier l'inégalité.

Je vais aussi travailler dessus, une aide extérieure pourrait être nécessaire.

Posté par
jsvdb
re : Du x^y et du y^x 25-08-16 à 18:00

Bonjour Edin
Bonjour Flewer,

L'idée de paramétrisation est intéressante, mais comme tu la présente, tu ne vas étudier que des cas où x et y son proportionnels l'un l'autre.

Je suggère de considérer y comme un simple paramètre. Je suggère de poser :

f_{y}(x) = x^{x} + y^{y}
g_{y}(x) = x^{y} + y^{x}

Avec la formule bien connu :  a^{b} = Exp(b.Ln(a)) pour des a et b convenables.

Vous déterminer évidemment où f et g sont définie et vous les étudiez en tant que fonction de x (dérivée, tableau de variation et tutti quanti). Bref, tout l'arsenal de l'analyste en herbe.

A vous de jouer.

Posté par
jsvdb
re : Du x^y et du y^x 25-08-16 à 18:02

Oh ! misère ! les fautes d'orthographe ...

Posté par
Flewer
re : Du x^y et du y^x 25-08-16 à 18:16

Bonjour jsvdb,

La proportionnalité dans R traite tous les cas, non ?..

J'avais tenté ça, j'ai obtenu quelque chose de pas facile à étudier.
Je vais retenter.

Posté par
milton
re : Du x^y et du y^x 25-08-16 à 20:29

Bonjour
on pose \varphi _r(x)=x^x-x^r-r^x et on montre que \varphi _r'(r)=0 et continues

Posté par
carpediem
re : Du x^y et du y^x 26-08-16 à 12:44

salut

pourquoi passer de y à r ...

on démontre simplement que la fonction de x :: f(x) = x^x + y^y - x^y - y^x est positive pour tout réel strictement positif y fixé ....



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