Bonjour,

L'indication de votre énoncé est E(x) pair et E(x) impair ou x pair et x impair ?

Je retire ce que j'ai dit. Je m'excuse du double post aussi. Le cas x pair et impair suppose x dans Z ce qui est trivial.

C'est à dire trivial? C'est juste qu'on considère tout les entiers relatifs?

Dans le cas général (x dans R)
Si E(x) est pair alors il existe un p  tel que E(x)=2p et on ainsi l'encadrement : 2px<2p+1 , et on a p(x/2)<p+(1/2)<p+1 avec p dans Z ce qui permet de conclure que E(x/2)=p de même on trouve que E((x+1)/2)=p et on a le résultat voulu.
On fait de même pour E(x) impair.

Pour x dans Z : si x pair alors x=2p et on a E(x/2)=p , E((x+1/2) =E(p+1/2)=p+E(1/2) =p ( vu que p est dans Z et E(1/2)=0 ) et on a le résultat voulu.
( pour x impair on fait de même )

[sup][/sup]

ZiYun @ 31-10-2017 à 14:02

Dans le cas général (x dans R)
Si E(x) est pair alors il existe un p  tel que E(x)=2p et on ainsi l'encadrement : 2px<2p+1 , et on a p(x/2)<p+(1/2)<p+1 avec p dans Z ce qui permet de conclure que E(x/2)=p de même on trouve que E((x+1)/2)=p et on a le résultat voulu.
On fait de même pour E(x) impair.

Pour x dans Z : si x pair alors x=2p et on a E(x/2)=p , E((x+1/2) =E(p+1/2)=p+E(1/2) =p ( vu que p est dans Z et E(1/2)=0 ) et on a le résultat voulu.


( pour x impair on fait de même )

Bonjour,

La définition de la partie entière E(x) est le plus grand entier qui vérifie E(x)x<E(x)+1. Donc si vous arrivez à une égalité du genre : mx<m+1 ( où m est dans Z ) alors m est la partie entière de x . C'est ce que j'ai appliqué. On a trouvé que p(x/2)<p+(1/2) mais p+(1/2) n'est pas dans ( puisque p est dans ) , mais on voit que p+ (1/2) < p+1 , c'est ce qui nous permet de dire que E(x/2)=p

D'accord merci, la c'est plus clair,mais ducoup d'où sort le E((x+1)/2)=p  ?

merci vraiment

Vous faites la même chose : 2px<2p+1 =>  p+(1/2)(x+1)/2<p+1 avec p<p+(1/2) vous trouvez le résultat voulu ^^

Autant pour moi, j'ai réussi avec le cas pair.
Maintenant je vais essayer le cas impair, merci encore

Pour le cas E(x) Impair,
on dit que E(x)=2p+1
et l'encadrement qui vient est :
2p+1<= x < 2p+2  ?

Et après pour isoler, je soustrais 1 de chaque côté et je divises ensuite par deux ?
merci

Oui vous avez bien l'encadrement mais pourquoi soustraire 1 ?

J'ai du me tromper.
Depuis le début :
E(x) pair :
   E(x)=2p
2p<=x < 2p+1
p<=x/2 < p + 1/2 < p+1
Par définition, on a E(x/2)= p

   E(x+1)= 2p+1
2p+1 <= x+1 < 2p+1
p< p+1/2 <= (x+1)/2 < p+1/2 < p+1
Par défintion , E(x+1)=p

On a alors E((x+1)/2) + E(x/2) = 2p = E(x)


E(x) impair :
E(x)= 2p+1
2p+1  <= x < 2p+2
p+1/2 <= x/2 < p+1
p< p+1/2 <= x/2 p+1
Par def : E(x/2)=p

E(x+1)= 2p+1+1
2p+2 <= x+1 < 2p+3
p+1 <= (x+1)/2 < p+3/2

Je penses que c'est sur cette dernière étape que je me trompes, si quelqu'un peut m'éclairer, merci !  

salut

E(x/2) + E((x + 1)/2) = E(x/2) + E(x/2 + 1/2)

posons n  = E(x/2) <=> n =< x/2 < n + 1            (*)

donc n + 1/2 =< x/2 + 1/2 < n + 1 + 1/2 => n =< E(x + 1/2) =< n + 1

par conséquent  2n =< E(x/2) + E(x/2 + 1/2) < 2n + 2 <=> 2n =< E(x/2) + E(x/2 + 1/2) =< 2n + 1

or  (*)  <=> 2n =< x <2n + 2 <=> 2n =< E(x) =< 2n + 1


il suffit alors de distinguer les cas n =< x < n + 1/2 et n + 1/2 =< x < n + 1

...

il suffit alors de distinguer les cas n =< x/2 < n + 1/2 et n + 1/2 =< x/2 < n + 1

Bonjour

c'est bon je m'en suis sortis , c'était plutôt évident à la fin, merci