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Écart-type et intégrale trigonométrique

Posté par
KCJV 03-08-23 à 01:14

Bonsoir tout le monde,
J'essayais de calculer l'intégrale $I = \int_{-1}^1 e^{-\frac{x^2}2} dx$ qui, à un facteur $\sqrt{2\pi}$ près, correspond à la probabilité qu'une v.a. gaussienne prenne une valeur espacée d'au plus un écart-type par rapport à la moyenne.

Pour ce calcul, j'envisageais d'utiliser la même méthode que celle employée pour la même intégrale mais sur : on pose $J = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}2} dx$ , en la mettant au carré et en faisant un changement de variable polaire on obtient :
$\begin{array}{rcccl} J^2 & = & \int \int_{\mathbb R^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}2} dx dy & = & \int_{-\pi}^{\pi} \int_0^{+\infty} e^{-\frac{r^2}2} r dr d\theta \\ & = & \int_{-\pi}^\pi \left[ -e^{-\frac{r^2}2} \right]_{r=0}^{+\infty} \, d\theta & = & 2\pi \end{array}$
Comme de plus $J$ est positive, on a donc $J = \sqrt{2\pi}$ .

Si l'on suit le même raisonnement pour notre intégrale sur [-1, 1], on va être amené à calculer une intégrale double sur [-1, 1]² au lieu de ². Le changement de variable devient alors un peu plus technique, une dépendance en apparaissant alors dans les bornes de l'intégrale en r :
${[-1, 1]}^2 = \left\{ (r \cos \theta, r \sin \theta) : -\pi \le \theta \le \pi, 0 \le r \le \sqrt{1 + m(\theta)^2} \right\}$
où $m(\theta) = \min(\tan \theta, \cot \theta)$ , cf. schéma ci-joint. On a alors

$\begin{array}{rcccl} I^2 & = & \int \int_{{[-1, 1]}^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}2} dx dy & = & \int_{-\pi}^\pi \int_0^{\sqrt{1+m(\theta)^2}} e^{-\frac{r^2}2} r dr d\theta \\ & = & \int_{-\pi}^\pi \left[ -e^{-\frac{r^2}2} \right]_{r=0}^{\sqrt{1+m(\theta)^2}} \, d\theta & = & 2\pi - \int_{-\pi}^{\pi} e^{-\frac{1 + m(\theta)^2}2} d\theta \\ &= & 2\pi - 4 \int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4} e^{-\frac{1 + \tan^2 \theta}2} d\theta & = & 2\pi - 4 \int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4} e^{-\frac1{2\cos^2 \theta}} d\theta \end{array}$

À partir de là je ne sais pas vraiment comment continuer. J'ai bien essayé un changement de variable affine, du style $\varphi = \frac\pi2 - \theta$ , ce qui nous donne $\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4} e^{-\frac1{2\cos^2 \theta}} d\theta = \frac12 \int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4} \left( e^{-\frac1{2\cos^2 \theta}} + e^{-\frac1{2\sin^2 \theta}} \right) d\theta$ , mais je n'ai pas d'idée pour aller plus loin. Est-ce que quelqu'un aurait des suggestions ? Ou alors peut-être une approche différente devrait-elle être envisagée ?

Merci d'avance !

Écart-type et intégrale trigonométrique

Posté par re : Écart-type et intégrale trigonométrique 03-08-23 à 08:36

Hello ça ne marchera pas. Pour calculer cette intégrale tu peux utiliser python ou alors les tables de valeurs de la fonction de répartition de la loi normale

Posté par re : Écart-type et intégrale trigonométrique 03-08-23 à 16:43

Bonjour, ah donc c'est desesperé à ce point ?