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[Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace

Posté par vinz_easy (invité) 27-09-05 à 18:47

Bonjour,

J'ai un exercice où il m'est demandé connaissant les coordonées d'un point A et deux équation parametriques de deux droite D et D' de trouver une droite L secante à  D et D' et passant par A
(on nous conseille de determiner les equations cartesiennes de L d'abord)

Je vous remercie d'avacnce pour vos conseils.

Posté par vinz_easy (invité)[Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 27-09-05 à 18:47

Bonjour,

J'ai un exercice où il m'est demandé connaissant les coordonées d'un point A et deux équation parametriques de deux droite D et D' de trouver une droite L secante à  D et D' et passant par A
(on nous conseille de determiner les equations cartesiennes de L d'abord)

Je vous remercie d'avacnce pour vos conseils.

*** message déplacé ***

Posté par vinz_easy (invité)re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 27-09-05 à 18:48

Euh je m'excuse du multi post, fausse manipulation de ma part.
Encore désolé.

*** message déplacé ***

Posté par vinz_easy (invité)re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 27-09-05 à 19:14

Un pti up!

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 27-09-05 à 19:25

Une piste (attention je n'y ai pas réfléchi très longtemps).

Ce serait plus facile en ayant les coordonnées de A et les équations des 2 droites.
Sinon il y a le risque d'être dans un cas particulier.

En espérant que ce ne soit pas le cas.

Equation générale d'un plan (sauf cas particulier)
x + ay + bz + c = 0

On fait passer ce plan par A dont on connait les coordonnées.
--> on obtient une relation liant a,b et c.
Cela permet donc d'éliminer une de ces "lettres" dans l'équation du plan.

On a donc une equation du plan passant par A ne dépendant plus que 2 paramètres.

On cherche le point de rencontre de ce plan avec D.
On a alors les coordonnées de ce point en fonction des 2 paramètres. (soit P ce point)

On cherche le point de rencontre de ce plan avec D'.
On a alors les coordonnées de ce point en fonction des 2 paramètres. (soit Q ce point)

On écrit les équations de la droite passant P et par Q
Ces équations dépendent des 2 paramètres.

On exprime que cette droite passe par A.
-----
Un exemple A(1,2,3)

D:
x = 4
y+z = 1

D':
z = 2
x-y = 3

Equation générale d'un plan (sauf cas particulier)
x + ay + bz + c = 0
Passe par A --> 1 + 2a + 3b + c = 0
--> c = -1-2a-3b

Equation du plan: x + ay + bz -1-2a-3b = 0

Recherche des coordonnées de P en résolvant le système:
x + ay + bz -1-2a-3b = 0
x = 4
y+z = 1

--> P(4; (3-2a-2b)/(b-a) ;(a+3b-3)/(b-a))   (A vérifier)

Recherche des coordonnées de Q en résolvant le système:
x + ay + bz -1-2a-3b = 0
z = 2
x-y = 3

--> Q(...) avec ... dépendant de a et b
---
On écrit les équations de la droite (PQ)

On exprime que cette droite passe par A.
-----
Il est possible qu'il n'y  ait pas de solution, ou une infinité de solutions (si D, D' et A sont coplanaires par exemple), ou ...

Posté par vinz_easy (invité)re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 27-09-05 à 19:30

euh je pe te donner lé equation de droites si tu veux et les coordonée du plan parce ke je saisi pas bien ton raisonnment.(pour moi l'equation d'un plan est ax+by+cz+d=0)

D: x=0                     D':  x=t
   y=t                          y=0
   z=1/3 - (2/3)t               z=1+t

et A(2,1,1)

Voila.

Posté par vinz_easy (invité)re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 27-09-05 à 20:29

alors?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 27-09-05 à 20:38

Oui l'équation d'un plan est Ax+By+Cz+D = 0
mais si A est différent de 0, on peut toujours diviser par A --> L'équation devient:   x+(B/A).y+(C/A).z+(D/A) = 0
et en posant B/A = a; C/A = b et D/A= c, il vient:
x + ay + bz + c = 0
-----

Equation générale d'un plan (sauf cas particulier)
x + ay + bz + c = 0
Passe par A(2 ; 1 ; 1)

2 + a + b + c = 0

c = -2-a-b

--> Equation des plan passant par A: x + ay + bz -2 - a - b = 0

Coordonnéees de P en résolvant le système:
x + ay + bz -2 - a - b = 0
x=0                    
y=t                          
z=1/3 - (2/3)t  

soit:

x + ay + bz -2 - a - b = 0
x=0                                  
z=1/3 - (2/3)y

ay + b(1/3 - (2/3)y) -2 - a - b = 0
                              
y(a - (2/3)b) = 2+a+b - (b/3)

y(3a - 2b) = 6+3a+3b-b

y = (3a+2b+6)/(3a-2b)
z = (1/3) - (2/3)(3a+2b+6)/(3a-2b)
z = (3a-2b-6a-4b-12)/(3.(3a-2b))
z = (-a-2b-4)/(3a-2b)

--> P(0 ; (3a+2b+6)/(3a-2b) ; (-a-2b-4)/(3a-2b))
---
Coordonnéees de Q en résolvant le système:
x + ay + bz -2 - a - b = 0
x = t
y = 0
z = 1+t

soit:
x + bz -2 - a - b = 0
y = 0
z = 1+x

x + b(1+x) -2 - a - b = 0
y = 0

x(b+1) = a+2
x = (a+2)/(b+1)
z = 1+x = (a+b+3)/(b+1)

--> Q((a+2)/(b+1) ; 0 ; (a+b+3)/(b+1))
---
On a:
P(0 ; (3a+2b+6)/(3a-2b) ; (-a-2b-4)/(3a-2b))
et
Q((a+2)/(b+1) ; 0 ; (a+b+3)/(b+1))

Equations de la Droite (PQ)

 \frac{x}{\frac{a+2}{b+1}} = \frac{y-\frac{3a+2b+6}{3a-2b}}{-\frac{3a+2b+6}{3a-2b}} = \frac{z+\frac{a+2b+4}{3a-2b}}{\frac{a+b+3}{b+1}+\frac{a+2b+4}{3a-2b}}

---
Passe par A(2 ; 1 ; 1) -->

 \frac{2}{\frac{a+2}{b+1}} = \frac{1-\frac{3a+2b+6}{3a-2b}}{-\frac{3a+2b+6}{3a-2b}} = \frac{1+\frac{a+2b+4}{3a-2b}}{\frac{a+b+3}{b+1}+\frac{a+2b+4}{3a-2b}}

Soit un système de 2 équations à 2 inconnues a et b.

Tu le résouds et si il y a des solutions pour a et b, tu remplaces a et b par leurs valeurs  dans:
les équations de la Droite (PQ):

 \frac{x}{\frac{a+2}{b+1}} = \frac{y-\frac{3a+2b+6}{3a-2b}}{-\frac{3a+2b+6}{3a-2b}} = \frac{z+\frac{a+2b+4}{3a-2b}}{\frac{a+b+3}{b+1}+\frac{a+2b+4}{3a-2b}}

Et ce devrait être les équations de la droite L cherchée.

Vérifie mes calculs.
----

Posté par vinz_easy (invité)re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 27-09-05 à 20:56

euH...
L'équation d'un plan passant par A(2,1,1)
n'est elle pas 2a+b+c+d=0 au lieu de
En fait je vois pas l'utilité de diviser par a l'equation du plan
car si a est nul... Il est dit nul part dans mon énoncé que les coefficients sont non nuls.

Posté par vinz_easy (invité)re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 27-09-05 à 21:30

pfui... Ils sont fou ces matheux de faire des truc aussi durs qui me serviront jamais!

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 27-09-05 à 21:50

"En fait je vois pas l'utilité de diviser par a l'equation du plan"

Et bien l'utilité est évidente.

On se retouve avec seulement 3 paramètres au lieu de 4.




Posté par vinz_easy (invité)re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 27-09-05 à 22:22

hum. Oui dans l'hypothèse ou A n'est pas nul. Faudra que je revoi sa a tete reposée. Mais merci de ton aide.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 28-09-05 à 12:39

Je continie ma démo:

On a: \frac{2}{\frac{a+2}{b+1}} = \frac{1-\frac{3a+2b+6}{3a-2b}}{-\frac{3a+2b+6}{3a-2b}} = \frac{1+\frac{a+2b+4}{3a-2b}}{\frac{a+b+3}{b+1}+\frac{a+2b+4}{3a-2b}}

a)

\frac{2}{\frac{a+2}{b+1}} = \frac{1-\frac{3a+2b+6}{3a-2b}}{-\frac{3a+2b+6}{3a-2b}}

Remise au même dénominateur, puis simplification -->

(2b+2)/(a+2) = (4b+6)/(3a+2b+6)
(b+1)/(a+2) = (2b+3)/(3a+2b+6)
3ab+2b²+6b+3a+2b+6 = 2a²+3a+4b+6
3ab+2b²+6b+2b = 2ab+4b
ab+2b²+4b = 0
b(2b+a+4) = 0

soit b = 0, soit b = -(a+4)/2

Si b = 0 --> a = -4.
Si b = -(a+4)/2 (ce cas reprend aussi la ligne ci-dessus)

--> il suffit d'envisager  b = -(a+4)/2

On vérifie que avec b = -(a+4)/2, l'équation: \frac{2}{\frac{a+2}{b+1}} = \frac{1+\frac{a+2b+4}{3a-2b}}{\frac{a+b+3}{b+1}+\frac{a+2b+4}{3a-2b}} est aussi vérifiée.

... C'est bien le cas.


--> Equations de L:

Avec b = -(a+4)/2 -->

x(1 - (a+4)/2)/(a+2) = (y-(3a-a-4+6)/(3a+a+4))/((3a-a-4+6)/(3a+a+4)) = (z + (a-a-4+4)/(...))/((a-(a+4)/2+3)/(1-(a+4)/2)


-x/2 = -2y+1 = z/-1

ou encore:

x = 4y - 2 = 2z

Ce sont les équations de la droite L.
-----
Sauf distraction.  


Posté par
piepalm
re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 28-09-05 à 15:18

Et si j'ecris simplement qu'un point de D (0, t, 1/3-2t/3) un point de D' (t', 0, 1+t') et A (2, 1, 1) sont alignés?
soit 2/(2-t')=(1-t)/1=(2(1+t)/3)/(-t') ...=(2-t)/3=2/(1-3t'/2)
donc t=1/2 et t'=-2
L passe par les points (0, 1/2, 0) et (-2, 0, -1) ainsi que par A. Son équation cartésienne est donc:
x/(-2)=(y-1/2)/(-1/2)=z/(-1) soit
x=-2y+1=2z

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 28-09-05 à 15:24

OK piepalm, sauf à la dernière ligne:

C'est : x = 4y - 2 = 2z

-----


Posté par
piepalm
re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 28-09-05 à 15:42

Oui bien sûr , j'ai encore calculé trop vite!

Posté par vinz_easy (invité)re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 28-09-05 à 19:32

Pourquoi les rapports entre les coordonées des vacteurs DA et D'A sont ils egaux?

Sinon avec mon calcul je trouve bien les paramètres t et t'.
Sinons avec la méthode de piepalm pourquoi chercher des équations cartesiennes de la droite L?
On calcule le vecteur directeur de la droite: M'M (2;1/2;1)
on sait que L passe par A(2;1;1)
D'où l'éqution parametrique de L:

x=2t+2
y=t+1/2
z=t+1

Vous me dites si je me trompe.
En touts cas un grand merci a vous deux du fond du coeur.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 28-09-05 à 20:01

Pourquoi les rapports entre les coordonées des vacteurs DA et D'A sont ils egaux?

Ce sont pas les vecteurs DA et DA', ce sont les vecteurs "(1 point de D  A)" et "(1 point de D'  A)"

Si on veut que les 3 points (celui de D, celui de D' et A) soient alignés, il faut que les vecteurs soient colinéaires.

--> les rapports entre les coordonnées des 2 vecteurs doivent être égaux.
-----
...
On calcule le vecteur directeur de la droite: M'M (2;1/2;1)
on sait que L passe par A(2;1;1)

Mais ensuite tes équations sont fausses, on doit avoir:

x = 2 + 2t
y = 1 + (1/2)t
z = 1 + t
-----
Sauf distraction.  



Posté par vinz_easy (invité)re : [Ecole d Ingé] Intersections de Droite dans l espace 28-09-05 à 20:34

Lol oué. Jme suis planté en lé recopiant. Mais merci, la j'ai vraiment compris.



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