Bonjour, je dois faire cette exercice :

x'(t)= x + sin(t) avec x(0)=1

1) Déterminer la fonction second membre f : R × R → R telle que l'équation différentielle s'écrive sous la forme x'(t) = f(t, x(t))

2) Trouver toutes leurs solutions

1) Soit f une fonction de RxR dans R.
f(t,x) = x + sin(t)

2) Je remarque que f est globalement lipchitzienne par rapport à x, uniformément par rapport a t car :
pour tout x,y dans R, pour tout t dans R :
|f(t,x) - f(t,y)| = |x-y| donc en particulier on a |f(t,x) - f(t,y)| =< 1 |x-y|
donc on peut utiliser le théoreme de Cauchy lipschitz global pour dire que la solution du problème est unique.

Solution homogène : x_h (t) = a exp(t) avec a dans R
mais pour la solution particulière je veux faire avec une IPP mais je ne sais pas je dois prendre quelle borne pour l'intégrale (je sais qu'il y a des méthodes plus simples avec la solution direct de cos et sin mais je veux faire une IPP car cela fait longtemps)

Merci !