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Elasticité de la demande
Bonjour,
Je rencontre quelque difficulté pour réaliser ce devoir, je pense avoir bien compris la méthode mais je bloque sur quelques calculs qui m'empêchent de le finir. J'espère que vous allez pouvoir m'aider! 
1-Problème : ELASTICITE
Une étude effectuée sur un certain article, a conduit à établir la relation suivante : f(p)=(10^5 *p)/p^2 -100) pour p dans
l'intervalle [2 ; +¥ [ où p représente le prix du produit en euros et f(p) la demande liée à ce produit pour le prix p.
PARTIE A : ETUDE DE LA DEMANDE
1) Calculer la demande pour les valeurs suivantes : p = 2 ; p = 2,5 ; p = 15. (Arrondir, si nécessaire, à l'unité près).
Réponse:
p = 2 f(p)=27273
p = 2,5 f(p) = 12 000
p = 15 f(p) = 1125
2) a) Vérifier que f(p) > 0 pour tout p dans l'intervalle [2 ; +¥ [.
Réponse:
10^5*6*p > 0 car p > 2
Pour que 36p^2 - 100 soit positif il faut que 36p^2 > 100. Soit que p^2 > 100/36 or 2 > 100/36 donc f(p) est positif.
b) Montrer que f est une fonction décroissante sur [2 ; +¥ [.
Réponse:
Je calcul la dérivée mais c'est la que les problèmes arrive car je trouve un résultat assez barbare.
f'(p) = [6*(36p^2-100) - 10^5*6p*72p ] / [(36p^2 - 100)^2 ]
= [216p^2 - 600 - 10^5*432p^2 ] / [(36p^2 - 100)^2 ] je ne sais pas simplifier plus que ça mais ça ma suffit pour finir la question.
On sait que 36p^2 - 100 est positif et de plus on demande son carré donc c'est positif.
On se concentre maintenant sur le numérateur:
216p^2 - 600 - 10^5*432p^2
216p^2 < 432p^2
Donc
216p^2 - 600 < 10^5*432p^2
Soustraire quelque chose par quelque chose de plus grand est négatif donc:
216p^2 - 600 - 10^5*432p^2 est négatif.
J'ai ensuite fait le tableau de signe et de variation, f'(p) est négatif donc f(p) est décroissante sur [2 ; +¥ [.
3) Dans cette question et seulement dans celle ci, on choisit une valeur particulière pour p. On suppose que le prix p, initialement égal à 2,5 euros, subit un augmentation de 1%.
a) Calculer le nouveau prix p1 et la demande correspondante à ce prix, à l'unité près.
Réponse:
p1 = 2,525
f(2,525) = 11697
b) Déduisez-en le pourcentage de variation de la demande, consécutive à l'augmentation du prix.
Réponse:
[f(p1) - f(p)]/f(p)*100 = -2,525
PARTIE B
On appelle l'élasticité de la demande par rapport au prix le nombre:
E(p) = p * f'(p) / f(p) pour tout p dans l'intervalle [2 ; +¥ [
On admettra que ce réel donne une bonne approximation du % de variation de la demande, pour une augmentation de 1% d'un prix p donné.
1) a) Quel est le signe E( p) pour pÎ[2;+ ¥[ ? Justifier la réponse et interpréter ce résultat.
Réponse:
f(p) est positif
f'(p) est négatif
p est positif
donc E(p) est négatif
b) Etablir l'égalité E(p)=1-(72p^2)/(36p^2-100)
Réponse: Je n'ai pas car ma dérivé n'est pas génial...
2) a) Quand p devient très grand, vers quelle valeur semple se rapprocher E(p)?
Réponse:
lim E(p) = lim 1-(72p^2)/(36p^2-100) = 1-(72p^2)/(36p^2-) = 1-(2p^2)/p^2 = 1-2/1 = -1
b) Calculer E'(p), étudiez le signe de E'(p) et en déduire le tableau de variation de E sur pÎ[2;+ ¥[
Réponse:
E'(p) = (144*(36p^2-100)-72p^2*72p) / (36p^2-100)^2
Dénominateur est positif.
Numérateur: Je ne sais pas...
c) Calculer la valeur de p0 pour laquelle l'élasticité est de -1,25
Réponse:
1-(72p^2)/(36p^2-100) = -1,25
-(72p^2)/(36p^2-100) = -2,25
Je ne sais pas aller plus loin :/
d) Comment évolue la demande quand le prix passe 5 à 5,5€?
Je ne sais pas.
Voilà, le devoir est assez massif mais je pense que mon problème est que je n'arrive pas à bien calculer la première dérivée. Merci de votre aide
Bonjour,
Tu peux améliorer la lisibilité mathématique de ton texte d'énoncé en utilisant la barre d'outils en dessous du cadre de saisie
Ainsi pour écrire 105, tu écris 105, tu sélectionnes le 5 et tu cliques sur le bouton X2
En cliquant sur le bouton 
, tu auras accès à une foule de symboles que tu peux insérer dans ton texte juste en cliquant dessus: exemple +
N'oublies pas non plus de mettre dans tes expressions ou formules toutes les parenthèses nécessaires qui évitent toute ambiguïté d'interprétation de celles-ci: ainsi ton écriture de f(p) dans la partie 1) n'est pas claire pour moi!
Si tu le veux, refais un post dans ce topic en copiant le texte de ton premier post et en améliorant la lisibilité des formules avec les outils indiqués à ta disposition
Merci d'avance et bon courage
Voilà, désolé, j'espère que c'est plus lisible maintenant.
Je sais que le devoir est assez long, mais si quelqu'un pourrait juste m'aider pour bien dériver cette formule
f(p) = (105 *p)/(p2 -100) alors je pourrais certainement d'avancer un petit peu plus tout seul
1-Problème : ELASTICITE
Une étude effectuée sur un certain article, a conduit à établir la relation suivante :
f(p) = (105 *p)/(p2 -100) pour p dans
l'intervalle [2 ; + [ où p représente le prix du produit en euros et f(p) la demande liée à ce produit pour le prix p.
PARTIE A : ETUDE DE LA DEMANDE
1) Calculer la demande pour les valeurs suivantes : p = 2 ; p = 2,5 ; p = 15. (Arrondir, si nécessaire, à l'unité près).
Réponse:
p = 2 f(p) = 27273
p = 2,5 f(p) = 12 000
p = 15 f(p) = 1125
2) a) Vérifier que f(p) > 0 pour tout p dans l'intervalle [2 ; + [ .
Réponse:
105*6*p > 0 car p > 2
Pour que 36p2 - 100 soit positif il faut que 36p2 > 100. Soit que p2 > 100/36 or 2 > 100/36 donc f(p) est positif.
b) Montrer que f est une fonction décroissante sur [2 ; + [ .
Réponse:
Je calcul la dérivée mais c'est la que les problèmes arrive car je trouve un résultat assez barbare.
f'(p) = [6*(36p2-100) - 10^5*6p*72p ] / [(36p2 - 100)2 ]
f'(p) = [216p2 - 600 - 105*432p2 ] / [(36p2 - 100)2 ]
Je ne sais pas simplifier plus que ça mais ça ma suffit pour finir la question.
On sait que 36p2 - 100 est positif et de plus on demande son carré, donc le résultat est positif.
On se concentre maintenant sur le numérateur:
216p2 - 600 - 105*432p2
216p2 < 432p2
Donc
216p2 - 600 < 105*432p2
Soustraire quelque chose par quelque chose de plus grand est négatif donc:
216p2 - 600 - 10^5*432p2 est négatif.
J'ai ensuite fait le tableau de signe et de variation, f'(p) est négatif donc f(p) est décroissante sur [2 ; + [ .
3) Dans cette question et seulement dans celle ci, on choisit une valeur particulière pour p. On suppose que le prix p, initialement égal à 2,5 euros, subit un augmentation de 1%.
a) Calculer le nouveau prix p1 et la demande correspondante à ce prix, à l'unité près.
Réponse:
p1 = 2,525
f(2,525) = 11697
b) Déduisez-en le pourcentage de variation de la demande, consécutive à l'augmentation du prix.
Réponse:
[f(p1) - f(p)]/f(p)*100 = -2,525
PARTIE B
On appelle l'élasticité de la demande par rapport au prix le nombre:
E(p) = p * f'(p) / f(p) pour tout p dans l'intervalle [2 ; + [
On admettra que ce réel donne une bonne approximation du % de variation de la demande, pour une augmentation de 1% d'un prix p donné.
1) a) Quel est le signe E( p) pour p 
[2 ; + [ ? Justifier la réponse et interpréter ce résultat.
Réponse:
f(p) est positif
f'(p) est négatif
p est positif
donc E(p) est négatif
b) Etablir l'égalité E(p) = 1-(72p2)/(36p2-100)
Réponse: Je n'ai pas car ma dérivé n'est pas génial...
2) a) Quand p devient très grand, vers quelle valeur semple se rapprocher E(p)?
Réponse:
lim E(p) = lim 1-(72p2)/(36p2-100) = 1-(72p2)/(36p2) = 1-(2p2)/p2 = 1-2/1 = -1
b) Calculer E'(p), étudiez le signe de E'(p) et en déduire le tableau de variation de E sur p[2 ; + [
Réponse:
E'(p) = (144*(36p2-100)-72p2*72p) / (36p2-100)2
Dénominateur est positif.
Numérateur: Je ne sais pas...
c) Calculer la valeur de p0 pour laquelle l'élasticité est de -1,25
Réponse:
1-(72p2)/(36p2-100) = -1,25
-(72p2)/(36p2-100) = -2,25
Je ne sais pas aller plus loin :/
d) Comment évolue la demande quand le prix passe 5 à 5,5€?
Re-bonjour,
Avec ta formule de f(p) on a un vrai problème car f(p) est négatif pour p [2,10[, est indéterminée pour p = 10 et devient positive pour p 
11
Le fait que f(p) n'est définie qu'à partir de p=2 ne se retrouve pas dans la formule de f(p), ce qui est surprenant à mon goût
Malgré le problème indiqué dans mon post précédent, je calcule f'(p) à partir de ta formule de f(p)
Soit f(p)=(105*p)/(p2-100)
f(p) est de la forme u(p)/v(p) avec u(p) = 105*p et v(p) = p2-100
donc f'(p) = (u'v-uv')/v2 avec u'(p) = 105 et v'(p) = 2p
Alors f'(p) = ((105*(p2-100)) - (105*p * 2p))/(p2-100)2
Càd f'(p) = - (105*(p2+100)) / (p2-100)2
On en conclut que f'(p) est négative et donc que f(p) décroissante sur l'intervalle considéré [2 , +[
Oops, c'est de ma faute:
f(p) = (105 *p)/(36p2 -100)
J'ai juste fais l'erreur en recopiant mais j'ai efectué mes calculs à partir de cette formule, donc f(p) est bien positive?
Et merci de votre réponse
On comprend mieux maintenant pourquoi p doit être 2 car 36*22 > 100
Donc u(p) = 105*p et v(p) = 36p2-100
d'où u'(p) = 105 et v'(p) = 72p
si bien que f'(p) = 105 * (36p2-100) - (105*p*72p) / (36p2-100)2
soit f'(p) = -105 * (36p2+100) / (36p2-100)2
Ainsi f'(p) négative et f(p) décroissante sur [2,+[
A toi de reprendre maintenant l'ensemble de ton problème
Bon courage
Oh mon dieu...j'ai honte mais je me suis encore trompé sur la formule....
C'est:
f(p) = (105 *6p)/(36p2 -100)
Donc u(p) = 105*6p et v(p) = 36p2-100
d'où u'(p) = 105*6 et v'(p) = 72p
si bien que f'(p) = 105*6 * (36p2-100) - (105*p*72p) / (36p2-100)2
soit f'(p) = -6*105 * (36p2+100) / (36p2-100)2
C'est bien ça?
Le résultat final me semble correct mais en intermédiaire le 6 manque dans le second membre du numérateur de la ligne précédente qui commence par si bien que
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