Je tiens à vous remercier de votre aide, j'en ai énormément
besoin.
merci d'vance.

Proposition 1 : une droite qui tombe sur deux droites parallèles
fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal
à l'angle intérieur opposé et placé du même côté, et les angles intérieurs
placés du même côté égaux à deux droites.
Traduction : Une droite coupe deux droites parallèles entre elles en formant
des angles alternes internes et des angles correspondants.

Proposition 2 : si deux triangle ont deux côtés égaux chacun à chacun, et si
les angles compris par les côtés égaux  sont égaux, ces triangles
auront leurs bases égales, ils seront égaux, et les angles restant,
soutenus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun.
Traduction : si ABC et DEF sont deux triangles tels que : AB=DE, BC=EF et <(ABC)
= <(DEF), alors les deux triangles ont même aire, AC=DF et les trois
angles des triangles sont égaux deux à deux. On dit alors que ABC
et DEF sont isométriques.

Proposition 3 : si deux triangles ont deux angles égaux chacun à chacun, et si
les côtés adjacents à cet angle sont égaux, ils seront égaux, et
les angles restant, soutenus par les côtés égaux, seront égaux chacun
à chacun.
Traduction : si ABC et DEF sont deux triangles tels que <(ABC) = <(DEF), <(BCA)
= <(EFD) et BC=EF, alors les deux triangles ont même aire, les trois
côtés sont égaux deux à deux, et les trois angles des triangles sont
égaux deux à deux. On dit alors que ABC et DEF sont isométriques.


Proposition 4 : les côtés et les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux
entre eux, et la diagonale le partage en deux parties égales. (Traduction
: de même aire).

Proposition 5: deux parallélogrammes construits sur une même base et entre les
mêmes parallèles ont même aire.    

Proposition 6 : deux triangles construits sur la même base et entre les mêmes
parallèles ont même aire.  

Théorème : Dans tout parallélogramme, les compléments des parallélogrammes
qui entourent la diagonal sont égaux entre eux (Traduction : ont
même aire).

Il s'agit d'un parallélogramme ABCD, de diagonale [AC]. La parallèle
[HG] au côté [AB] coupe [AD] en H et [BC] en G. La parallèle [EF]
au côté [AD] coupe [AB] en E et [DC] en F. Ces deux parallèles se
coupent avec la diagonale [AC]en un point K.  

     Démontrer à l'aide de la proposition 4 uniquement, que A(HKFD)
= A(BGKE)

Exprimer A(ABCD) en fonction de A(AEKH), A(GKFC) et A(HKFD). On suppose maintenant
que ABCD est un carré. Exprimer les aires précédentes en fonction
de a=AH et b=HD. Quelle égalité retrouve-t-on ?

Aire du triangle.
Retrouver la formule de l'aire d'un triangle quelconque à partir de la proposition
4.

Le Théorème de Thalès

Il s'agit d'un triangle ADE. La parallèle [BC] au côté [DE] coupe [AD]
en B et [AE] en C. A,B,D alignés et A,C,E alignés.  
    Montrer que A(BCD) = A(BCE)
    Montrer que AD/AB={A(ACD)}/{A(ACB)}=1+[{A(BCD)}/{A(ABC)}]
                          
    En déduire le théorème de Thalès.

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