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Niveau Maths sup
éléments irreductibles, anneau factoriel
Posté par stefanbanach
Bonjour,
J'aurai quelques questions concernant l'arithmétique :
1) Quelle est la différence entre un élément irréductible et un élément premier (dans un anneau quelconque) ?
Je me donne K un corps, une famille finie de polynômes à coefficients dans K deux à deux premiers entre eux et je pose
. Pour montrer que les
sont premiers entre eux je me donne D un diviseur commun irréductible des
, par le lemme d'Euclide et compte tenu de la définition des
, D est une unité de K[X] donc la famille est bien constituée de polynômes premiers entre eux.
2) Peut-on remplacer K[X] par un anneau non factoriel dans l'exemple précédent ?
3) Si oui, est-il encore possible de se ramener à l'étude d'un diviseur commun irréductible des afin d'appliquer le lemme d'Euclide ?
Bonjour.
Citation :
1) Quelle est la différence entre un élément irréductible et un élément premier (dans un anneau quelconque) ?
1) Quelle est la différence entre un élément irréductible et un élément premier (dans un anneau quelconque) ?
Un élément
Dans un anneau commutatif intègre (à mon sens le minimum syndical pour faire de l'arithmétique), un élément premier est irréductible. La réciproque est vraie pour les anneaux à PGCD (donc pour les anneaux factoriels, et donc pour les anneaux principaux).
Citation :
2) Peut-on remplacer K[X] par un anneau non factoriel dans l'exemple précédent ?
2) Peut-on remplacer K[X] par un anneau non factoriel dans l'exemple précédent ?
Oui.
Citation :
3) Si oui, est-il encore possible de se ramener à l'étude d'un diviseur commun irréductible des)
afin d'appliquer le lemme d'Euclide ?
3) Si oui, est-il encore possible de se ramener à l'étude d'un diviseur commun irréductible des
Oui puisque dans un anneau factoriel les éléments irréductibles sont premiers donc vérifient le lemme d'Euclide.