Bonjour, je rencontre quelques soucis avec ce problème sur l'élimination du médicament, espérant trouvé de l'aide, voici le sujet :

A l'instant t = 0, on injecte dans le sang d'un patient une dose de 3mL d'un médicament.
Une étude du processus d'élimination de ce médicament a permis d'observer qu'à chaque instant t, exprimé en heures, la vitesse d'élimination de ce produit est proportionnelle à la quantité f(t), exprimée en mL, de médicament encore presente dans le sang du patient, c'est à dire qu'il existe une constante strictement positive k telle que :  f'(t) = -kf(t).

1 - Un dosage effectué au bout de trente minutes, cest à dire à l'instant 1/2, permet d'estimer la quantité de médicament présente dans le sang à 2.85 mL. En déduire une approximation de f'(0), puis de k.

Réponse :  On a f'(t) = -kf(t) et à t =0 on injecte 3mL d'un médicament, donc f(0) = 3, d'où on doit résoudre f'(t) = -kf(t) avec comme condition initiale f(0) = 3.
Alors les solutions générales de l'équation différentielle f'(t)= -kf(t) sont les fonctions du type y = f(t) = Ce^(-kt)
or on a f(0) = 3, donc f(0) = C, donc C = 3
On obtient alors f'(0) = -3k !

2 - On suppose désormais que k = 0.1.
a - Exprimer f(t) en fonction de t.
Réponse :  On a f'(t) = -0.1f(t) et f(0) = 3, donc f(t) = 3e^(-0.1t).

b - Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0;12].
Réponse : De toute évidence, la concentration du médicament doit diminuer dans l'organisme au cours du temps, donc f sera décroissante.
On a f(0) = 3 et f(12)0.9035
Donc f sera décroissante sur [0;12], et la concentration diminuera, en passant de 3 mL à 0.9035mL.

3 - Déterminer graphiquement, à 10^-1 près, la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 4h, puis au bout de 5h30 min.
f(4) = 2.01mL et f(5.5) = 1.73 mL

4 - On procède à une nouvelle injection de 3mL au bout de 7h.
a - Expliquer comment à partir de la courbe C (représentative de la fonction f), on pourrait représenter la courbe C1 représentant la quantité de médicament présente dans le sang du patient 3 heures après la seconde injection.

La courbe C1, serait une translation de la courbe C, car on injecte toujours la même dose de médicament, mais lors d'un temps différé de 3heures. Donc ce serait une translation de vecteur 3 ?

b - Déterminer par calcul, au bout de combien de temps; le sang du patient ne contient plus que 1mL de médicament.
Là ne j'ai pas trop d'idée, je bloque dessus !

En espérant avoir quelques indices pour continuer l'exercice, merci d'avance pour tout !