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Niveau Reprise d'études
Ellipse coordonnées polaire - somme distances foyer
Posté par fabo34
Bonjour à tous.
Le point de départ est l'équation polaire suivante dans un repère de centre 0:
Il est connu que c'est une ellipse de foyer O et de paramètres . Les autres paramètres plus "visuels", comme périhélie, aphélie, distance foyer-centre
obtenus via les formules
,
,
Ici j'aimerais effectivement montrer que c'est une ellipse en montrant que la somme des distances au foyer est constante, soit .
On pourrait se dire que ça va être simple vu que est la première distance au foyer, et que l'autre distance au foyer n'est que du Al Kashi avec
.
Mais là faut déchanter. Je n'y arrive pas. Dois y avoir une astuce, mais je ne vois pas.
Pareil, rien en pensant que
Auriez-vous une piste?
J'ai vu des chemins qui remontaient vers l'équation cartésienne, et concluait que c'était bien la forme d'une ellipse. Mais ça ne me plait guère. En vous remerciant
Ah oui. Merci. J'ai repris les formules de wikipedia, mais leur n'est pas la distance Foyer-Centre: c'est
! C'était pourtant clair sur leur figure.
Bon. on va dire que j'aime bien utiliser pour la distance Foyer-Centre. Du coup effectivement la 3° formule est fausse. Par contre, la 1° me semble juste?
En rectifiant:
Ici, on a fonction de
, donc il faut définir
avec les mêmes données. Car on va "construire" un 2ème point (l'autre foyer F') en
.
Ca nous donne normalement
J'ai aussi fait une erreur dans Al-Kashi. En fait, c'est .
A partir de là, comment montrer .
J'avoue qu'une solution avec me contenterait beaucoup. Plus par élégance; on retrouverait la valeur de la constante avec une valeur particulière de
!
Bref. On a , on a
. On se dit que ça devrait bien se goupiller. Mais non, c'est dingue! Je n'y arrive pas.
Bonsoir,
j'ai essayé c'est finalement un calcul pas trop inextricable.
On utilise les relations
On a alors
Et voilà! Il y a ceux qui voient ... et les autres.
Bravo !!
J'ai bien fait de vous demander; là je patauge dans ma dérivée. Alors qu'en fait l'expression se simplifie.
Dire que j'avais fait tout ça dans ma jeunesse en Tle. Une époque où il y avait les coniques.
Encore merci!
Disons que j'ai quand même un peu cherché.
L'idée de base est que l'on veut une relation qui ne dépend pas de 
et qu'il faut donc éliminer le cos.
D'où la relation (1).
Ensuite j'ai essayé avec p et e comme paramètres et au bout de 4 ou 5 lignes ça devient compliqué et je me suis rendu compte que je voulais une relation avec a.
J'ai donc décidé de prendre a et f comme paramètres et c'est tombé directement.
En fait il ne faut pas perdre de vue le résultat souhaité.
Je n'ai pas essayé le calcul avec la dérivée de r+r' par rapport à parce qu'on a une racine carrée et que la dérivation ne les simplifies pas.
Et oui. Moi j'avais juste pensé à simplifier cos θ par x, et travailler dans [0;1]. Mais ça ne change pas grand chose avec ces foutues racines 
.
"il ne faut pas perdre de vue le résultat souhaité": oui, c'est un excellent conseil! Le plus dur, et aussi le plus fascinant, c'est que dans les maths il puisse exister des fausses pistes, des chemins plus ou moins escarpés, voir des impasses. Alors qu'un autre chemin va droit au but. Les maths, finalement, c'est très proche de l'alpinisme.
En un sens il y a bien le même problème que dans l'alpinisme.
Je me souviens d'une voie d'escalade dans les Cerces où on s'était trompé de sommet.
Mais c'était quand même pas mal.
Bonjour !
Bravo verdurin !
Je propose un autre calcul lui aussi rapide :
Si (notation usuelle de la distance focale) pour montrer que
je propose de calculer
.
En effet, de sorte que la nullité de
équivaut à celle de
(C'est en fait le classique "multiplier par l'expression conjuguée" puisque s'exprime par une racine carrée. Mais en écrivant trop vite cette racine on perd l'interprétation géométrique permettant de montrer que l'expression conjuguée ne s'annule jamais)
Maintenant, se calcule facilement (AL-Kashi) en fonction de
et il semble que
soit fonction homographique simple de
.
Je conseille, pour ceux qui veulent terminer, de garder les lettres ce qui évite la manipulation des dénominateurs puissances de
.