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Ellipse inclinée

Posté par Naiko (invité) 21-04-05 à 20:02

Bonjour à tous,
Voilà, je cherche à écrire l'équation cartésienne d'une ellipse.
Je sais que \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1 est l'équation d'une ellipse lorsque l'axe focal est confondu avec l'axe des abscisses, mais que devient cette équation quand l'ellipse est inclinée d'un angle \theta? J'imagine que c'est quelque chose du genre c\,x^2+d\,xy+e\,y^2=1, mais comment déterminer c, d et e à partir de a, b et \theta?
Merci d'avance à celui ou celle qui saura m'éclairer.

Posté par
isisstruiss
re : Ellipse inclinée 21-04-05 à 20:46

Bonsoir Naiko!

Je ne sais pas non plus que valent c,d et e, mais j'ai une idée pour les trouver. Je fais une rotation d'angle \theta ramenant les axes de l'ellipse inclinée en une ellipse d'axes parallèles aux axes. L'image du point (x;y) par cette rotation est
\(\array{x^'\\y^'\\}\)=\(\array{cos(\theta)&sin(\theta)\\-sin(\theta)&cos(\theta)}\)\(\array{x\\y\\}\)

Ensuite sur ce nouveau repère on a bien \frac{x'^2}{a}+\frac{y'^2}{b}=1.

En remplaçant les valeurs de x' et y' j'obtiens:
\frac{\(xcos(\theta)+ysin(\theta)\)^2}{a}+\frac{\(-xsin(\theta)+ycos(\theta)\)^2}{b}=1

Et en déceloppant
ab=x^2(bcos^2(\theta)+a sin^2(\theta))+2xycos(\theta)sin(\theta)(b-a)+y^2(bsin^2(\theta)+a cos^2(\theta))

Si jamais tu ne trouves pas trop compliqué je te conseille de vérifier mes calculs...

Isis

Posté par
Ksilver
re : Ellipse inclinée 21-04-05 à 20:55

je n'ai jammais reflechi au probleme mais pour y arriver il faut faire un changement de repère.

tu definie un nouveaux repère de sorte que celui sois "bien placé" pour que tu sache donné l'equation de ton elipse dans ce repère puis tu donne une relation entre (x,y) coordoné d'un point dans le repère de base et (x',y') coordoné d'un point dans le 2e repére....

par exemple tu a une elipse dont l'axe des focal forme un angle teta avec l'axe des abcisse. tu pose un 2e repere (O,i',j') (i',j' sont des vecteur bien entendu)
ici le changement de repère est "juste" une rotation de centre 0 et d'angle teta.
on apelle (x',y') les coordoné d'un point dans le repère (o,i',j'
) et (x,y) les coordoné de ce point dans le repère initiale

donc ton elipse correspont a l'equation "x'²/a + y'²/b=1"
en utilisant les complexes on trouve facilement (x',y') = ( cos(teta)x-sin(teta)y , cos(teta)Y+sin(teta)X )

il ne reste plus qua remplacer et developer pour trouver l'equation de ton elipse "incliner" dans le repère initiale...

maintenant peut-etre que qqn pourra te donner une formule "pret a utiliser"

Posté par Naiko (invité)re : Ellipse inclinée 21-04-05 à 21:07

Merci à tous les deux.
Maintenant que vous le dites, je m'en veux de ne pas y avoir pensé tout seul... Mes maths sont rouillées

Posté par
isisstruiss
re : Ellipse inclinée 21-04-05 à 21:16

Il n'y a pas de mal Naiko! N'hésites pas à reposer des questions si jamais tu rencontres encore des problèmes.

Isis



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