Niveau autre

Ellipse ou cercle ou autre chose ?

Posté par
mikayaou 07-07-08 à 10:43

Bonjour

Je ne suis pas sûr de l'ensemble des points M(x;y) du plan tel que :

$5$ \red \textrm Arctan(\frac{y}{a+x}) + Arctan(\frac{y}{a-x}) = \frac{5\pi}{12}$

pouvez-vous me confirmer cet ensemble de points M ?

merci

Posté par re : Ellipse ou cercle ou autre chose ? 07-07-08 à 11:10

Essaie en prenant la tangente des 2 membres.

tg(A+B) = (tg(A) + tg(B))/(1 - tg(A).tg(B))

avec A : arctg((y/(a+x)) et B = arctg((y/(a-x))

Sauf erreur, c'est un cercle.

Posté par re : Ellipse ou cercle ou autre chose ? 07-07-08 à 11:16

Salut mika,

tu ne fais aucune hypothèse sur x et y?

Ce qu'on peut dire, c'est que si le produit de $4$\rm \fr y{a+x}$ et de $4$\rm \fr y{a-x}$ est inférieur à $4$\rm 1$ , alors le membre de gauche s'écrit, pour $4$\rm x^2^\neq a^2:$

$4$\rm Arctan (\fr{2ya}{a^2-x^2-y^2})=\fr{5\pi}{12}$

(formule utilisée: si $4$\rm vw < 1,\;Arctan v+Arctan w = Arctan(\fr{v+w}{1-vw})$ ).

L'équation initiale équivaut donc, en prenant la tangente de chaque membre et en posant $4$\rm u=tan(\fr{5\pi}{12})$ , à $4$\rm \{x^2+y^2+\fr{2ya}u=u^2\\x^2\neq a^2$ .

C'est l'équation du cercle de centre $4$\rm \Omega$\;0\\-\fr au$$ , de rayon $4$\rm u$ , et éventuellement privé d'un ou deux points selon le signe de $4$\rm u^2-a^2$ .

Maintenant sans hypothèse supplémentaire sur x et y, c'est plus compliqué!

Posté par re : Ellipse ou cercle ou autre chose ? 07-07-08 à 11:17

oui, ça me confirme alors - merci J-P

j'avais un doute sur des restrictions de tan( Arctan )...

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en fait, si je ne me suis pas trompé dans la mise en équation, c'était pour vérifier la réponse à ce topic ensemble de points

Je suis certain qu'on doit pouvoir résoudre son exo 3) géométriquement en considérant le cercle qui passe par A et A' et dont il faut déterminer le centre

mais géométriquement, je coince...

Posté par re : Ellipse ou cercle ou autre chose ? 07-07-08 à 11:17

Désolé, le rayon annoncé n'est pasjuste

Salut J-P!

Posté par re : Ellipse ou cercle ou autre chose ? 07-07-08 à 11:18

merci Tigweg, t'as répondu plus complètement

si tu pouvais aller sur le lien mis dans mon précédent post et tenter de résoudre le 3) géométriquement, ça m'ouvrirait les yeux

Posté par re : Ellipse ou cercle ou autre chose ? 07-07-08 à 11:27

Pas de quoi

L'argument du quotient de deux complexes, c'est l'angle orienté entre le vecteur d'affixe le dénominateur et le vecteur d'affixe le numérateur.Comme Arg(uv)=Arg(u)+Arg(v), on obtient pour la question 3:

$4$\rm (\vec{AM};\vec{BM})=-\fr{17\pi}{12}=-\fr{5\pi}{12}\;[mod\;2\pi]$

avec $4$\rm A(a);\;B(-ia^2);\;et\;M(z)$ .

Les points M cherchés décrivent donc un arc de cercle d'extrémités A et B, et prvé de A et B.