Un p'tit coup de main s'il vous plaît...

Bonjour,
Dans un problème, j'ai du démontrer que :
pour t>= 0 ; -1/2 <= (1-t-e^(-t))/t² <= -1/2 +t/6

Il me dise maintenant qu'il faut que je me serve de la question précédente pour démontrer qu'une nouvelle fonction f est dérivable en 0 et que f'(0)=-1/2. On nous dit que f est la fonction définie sur [0;+oo[ par f(t)=g(t) si t>0 et f(0)=1.
g est une fonction que l'on a déjà étudié : g est définie sur ]0;+oo[ par g(t)=(1-e^-t)/t.

J'ai un peu de mal à comprendre comment f peut être définie en 0 en étant égale à g mais bon...
Voilà, si vous voyez comment faire,
merci d'avance.

*** message déplacé ***

Bonjour

c'est le principe du prolongement.
Ta fonction g n'est pas définie en 0 (normal car tu divises par 0)
Mais si tu cherches la limite de g en 0,  tu tombes sur 1. La tentation est alors grande de dire "pourquoi ne pas poser g(0) = 1?"
Cela s'appelle prolonger la fonction g en 0 par continuité (c'est-à-dire en conservant une fonction continue). Comme tu changes le domaine de la fonction, ce n'est plus g mais "g prolongée", on lui donne alors un autre nom: dans ton énoncé c'est f.

Donc tu as prolongé g par continuité en 0 et tu as maintenant une fonction f, définie comme g sur ]0 ; + oo[ avec, en plus f(0) = 1

Tu veux montrer que f, non seulement est continue en 0, mais est dérivable en 0
Il faut donc que tu calcules

et que tu cherches la limite de cette expression en 0. Ce qui te donneras f'(0).(définition de la dérivabilité).
Calcule donc cette expression. Tu dois tomber sur
. Grâce à l'inégalité précédente et un petit théorème des gendarmes, tu dois pouvoir trouver la limite en 0 de cette expression .

Bon courage

*** message déplacé ***

ok merci beaucoup, j'avais pas vraiment pensé à ça...