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::: encadrement d integrale ::::

Posté par
H_aldnoer 19-05-05 à 23:37

slt a tous,


quelqu'un pourrait il mexpliquer ceci :

4$\rm\sum_{p=1}^nf(\frac{p}{n})

ou f represente une fonction.

merci

Posté par
dad97 Correcteurre : ::: encadrement d integrale :::: 19-05-05 à 23:44

Bonsoir H_aldnoer,

5$\rm\bigsum_{p=1}^{p=n}f(\frac{p}{n})=f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+...+f(\frac{n-1}{n})+f(\frac{n}{n})

est-ce l'explication attendue

Salut

Posté par
H_aldnoerre : ::: encadrement d integrale :::: 19-05-05 à 23:46

en fait je crois que ceci n'a pas de sens sans l'enonce :

3$\rm on pose f(x)=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\ln(x) , D_f=]0;+\infty[

3$\rm \blue pour n\ge2 on pose S_n=\frac{1}{n}\sum_{p=1}^nf(\frac{1}{n})

3$\rm \magenta demontrer que \forall p / 1\le p\le n-1 , \frac{1}{n} f(\frac{p+1}{n})\le\Bigint_{\frac{p}{n}}^{\frac{p+1}{n}}f(x) dx\le\frac{1}{n} f(\frac{p}{n})

>> j'y suis arriver par les methodes d'encadrement avec les rectangles ayant etudier la fonction, et vu que celle ci decoit sur ]0;1] ensemble sur lesquelles varient les bornes de l'integral

3$\rm \blue en deduire que S_n-\frac{1}{n} f(\frac{1}{n})\le I(\frac{1}{n})\le S_n ou I est donne par I(\lambda)=\Bigint_{\lambda}^1 f(x)dx

>> la je ne vois pas comment faire

merci pour l'aide.

Posté par
dad97 Correcteurre : ::: encadrement d integrale :::: 20-05-05 à 00:12

Re,

3$\rm \forall p / 1\le p\le n-1 , \frac{1}{n} f(\frac{p+1}{n})\le\Bigint_{\frac{p}{n}}^{\frac{p+1}{n}}f(x) dx\le\frac{1}{n} f(\frac{p}{n})

donc en sommant ces inégalités de 1 à n-1:

\Bigsum_{p=1^}^{p=n-1}[\frac{1}{n} f(\frac{p+1}{n})]\le\Bigsum_{p=1^}^{p=n-1}[\Bigint_{\frac{p}{n}}^{\frac{p+1}{n}}f(x) dx]\le\Bigsum_{p=1^}^{p=n-1}[\frac{1}{n} f(\frac{p}{n})]

or \Bigsum_{p=1^}^{p=n-1}[\frac{1}{n} f(\frac{p+1}{n})]=\frac{1}{n}\Bigsum_{p=1^}^{p=n-1} f(\frac{p+1}{n})=\frac{1}{n}\Bigsum_{p=2^}^{p=n} f(\frac{p}{n})=\frac{1}{n}[\Bigsum_{p=1^}^{p=n} f(\frac{p}{n})-f(\frac{1}{n})]=S_n-\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})

et
\Bigsum_{p=1^}^{p=n-1}\Bigint_{\frac{p}{n}}^{\frac{p+1}{n}}f(x) dx=\Bigint_{\frac{1}{n}}^{1}f(x) dx=I(\frac{1}{n}) Chasles

et enfin :

\Bigsum_{p=1^}^{p=n-1}[\frac{1}{n} f(\frac{p}{n})]=\frac{1}{n}\Bigsum_{p=1^}^{p=n-1} f(\frac{p}{n})=\frac{1}{n}[\Bigsum_{p=1^}^{p=n} f(\frac{p}{n})-f(1)]=S_n-\frac{1}{n}f(1)=S_n car f(1)=0

Salut

Posté par
H_aldnoerre : ::: encadrement d integrale :::: 20-05-05 à 00:21

slt dad97,


merci j'ai tout compris

pour finir il dise en deduire que :

3$\rm \blue I(\frac{1}{n})\le S_n\le I(\frac{1}{n})+\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})

alors je pense utilisé l'inegalité que vous venez de me demontrer :

3$\rm S_n-\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})\le I(\frac{1}{n})\le S_n
i.e.
3$\rm S_n\le I(\frac{1}{n})+\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})\le S_n+\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})

en particulier :
3$\rm S_n\le I(\frac{1}{n})+\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})

et nous venons de demontrer que :
3$\rm S_n-\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})\le I(\frac{1}{n})\le S_n

soit en particulier :
3$\rm I(\frac{1}{n})\le S_n

d'ou :
3$\rm \magenta I(\frac{1}{n})\le S_n\le I(\frac{1}{n})+\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})

est ce correct ?

merci pour l'aide.

Posté par
dad97 Correcteurre : ::: encadrement d integrale :::: 20-05-05 à 00:26



Salut

Posté par
H_aldnoerre : ::: encadrement d integrale :::: 20-05-05 à 00:29

merci

et comment justifier le fait que :

4$\rm \Bigsum_{p=1}^{n-1}[\frac{1}{n} f(\frac{p}{n})]=\frac{1}{n}\Bigsum_{p=1}^{n-1}[f(\frac{p}{n})]

?

encore merci.

Posté par
dad97 Correcteurre : ::: encadrement d integrale :::: 20-05-05 à 00:32

La sommation se fait sur p et pas sur n c'est une simple factorisation par 1/n (tout les termes de la somme sont le produit de 1/n par un autre nombre)

Salut

Posté par
H_aldnoerre : ::: encadrement d integrale :::: 20-05-05 à 00:35

ok

effectivement ...

c comme ci l'on avait par exemple :

3$\rm \frac{1}{n}a+\frac{1}{n}b+\frac{1}{n}c+...+\frac{1}{n}(n-1)=\frac{1}{n}(a+b+c+...+(n-1))

merci beaucoup.

Posté par
H_aldnoerre : ::: encadrement d integrale :::: 20-05-05 à 00:37

et autre question ... dsl si j'en pose bcp mais j'essaye de comprendre les petits details

comment justifier que :

si
3$\rm a\le b\le c

alors
3$\rm \sum a\le \sum b\le \sum c

?


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