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Encadrement de pi par deux méthodes

Posté par
Yona07
19-11-21 à 03:07

Bonjour!

*Méthode d' Archimède:
On considère un cercle de rayon 1 et on note, pour n1, xn, le demi-périmètre du polygone régulier inscrit à 2n côtés.

1. Calculer xn. Montrer que: \lim_{n\rightarrow +\infty } x_n=\pi.

2.Montrer que: 0<\pi-x_n<\frac{\pi^3}{6\times 4^n}.

*Méthode des isopérimètres:
On considère un polygone régulier à 2n côtés de périmètre égal à 1. On note (a_n)_{n\geq 1} et (b_n)_{n\geq 1} les rayons respectifs des cercles inscrit et circonscrit.

1/ Calculer a_n et b_n et montrer que pour tout n1:

\begin{cases} a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \\ b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n} \end{cases}

2.Montrer que  (a_n)_{n\geq 1} et (b_n)_{n\geq 1}  sont deux suites adjacentes et que: b_n-a_n \sim _{+\infty }\frac{\pi}{2}(\frac{1}{4})^n.

3.Montrer que les suites u_n=\frac{1}{2a_n} et v_n=\frac{1}{2b_n} ont pour limite commune et que:

0<u_n-v_n<(\frac{1}{4})^n\frac{\pi^3\sqrt{2}}{2}

Merci d'avance!
Je vais envoyer ce que j'ai fait dans le message suivant.

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 03:32

On a:

\sin(\alpha _n)=\frac{\frac{c_n}{2}}{R}=\frac{c_n}{2}\\\\\text{donc: }c_n=2\sin(\alpha_n)\\\\\text{En fait: }\alpha_n=\frac{\frac{\pi}{2^{n-1}}}{2}=\frac{\pi}{2^n}\\\\\text{Alors: }x_n=\frac{2^n}{2}\times 2 \sin(\frac{\pi}{2^n})=2^n\times \sin(\frac{\pi}{2^n})\\\\ \text{Et: }\lim_{n\rightarrow +\infty }x_n=\lim_{\beta \rightarrow 0 }\frac{\pi}{\beta}\sin(\beta)=\pi \text{ en posant: } \beta=\frac{\pi}{2^n}

cn est un côté du polygone.

Encadrement de pi par deux méthodes

**image redimensionnée**

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 03:38

Pour 2, je ne sais pas vraiment d'où vient le terme à droite de l'inégalité...

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 03:51

Concernant la deuxième méthode, j'ai trouvé:

b_n=\frac{1}{2^{n+1}\sin(\frac{\pi}{2^n})} et a_n=\frac{\cos(\frac{\pi}{2^n})}{2^{n+1}{sin(\frac{\pi}{2^n}})}...

Posté par
ty59847
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 09:04

Pour x très petit, est-ce que tu connais un encadrement de sin(x) ?
Pour x très petit et x>0 :
Sin(x) <x, ça tu dois le savoir,
Mais on a aussi : sin(x) >  x-x^3/6

Si tu as entendu parler de 'Développements limités', alors tu as tous les outils pour retrouver cette propriété.

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 14:46

Bonjour! Merci pour avoir répondu!

Je ne sais pas vraiment grand-chose à propos du développement limité.. Je sais qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approchée par une fonction polynomiale dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point...Ceci fait en physique lorsqu'on a fait le cours d'énergétique. En math, pas encore...

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 14:52

\sin(x)-x> \frac{x^3}{6} est à démontrer ou c'est conclut à partir du développement limité de la fonction sinus?

Posté par
Foxdevil
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 15:27

Bonjour,

Yona07 @ 19-11-2021 à 14:52

\sin(x)-x> \frac{x^3}{6} est à démontrer ou c'est conclut à partir du développement limité de la fonction sinus?
Le DL dans sa forme classique ne permet pas de démontrer tel quel l'inégalité. On peut le faire avec les autres formules de Taylor, mais ce n'est pas nécessaire ici.

Une simple étude de fonction permet de s'en sortir

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 15:34

Bonjour foxdevil!
C'est compris. ^^

Concernant la deuxième méthode, les expressions de a_n et b_n, sont-elles correctes??

Posté par
Foxdevil
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 17:17

Yona07 @ 19-11-2021 à 03:51

Concernant la deuxième méthode, j'ai trouvé:

b_n=\frac{1}{2^{n+1}\sin(\frac{\pi}{2^n})} et a_n=\frac{\cos(\frac{\pi}{2^n})}{2^{n+1}{sin(\frac{\pi}{2^n}})}...
Alors sauf erreur de ma part, je n'ai que des 2 puissances n...et non n+1

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 17:56

Yona07 @ 19-11-2021 à 03:51


b_n=\frac{1}{2^{n+1}\sin(\frac{\pi}{2^n})} et a_n=\frac{\cos(\frac{\pi}{2^n})}{2^{n+1}{sin(\frac{\pi}{2^n}})}...


On a:

\sin(\alpha_n)=\frac{\frac{(\frac{p}{2^n})}{2}}{b_n}\Leftrightarrow b_n=\frac{\frac{p}{2^{n+1}}}{\sin(\frac{\pi}{2^n})}=\frac{1}{2^{n+1}\sin(\frac{\pi}{2^n})}

et:

cos(\alpha_n)=\frac{a_n}{b_n}\Rightarrow a_n=\frac{cos(\frac{\pi}{2^n})}{2^{n+1}sin(\frac{\pi}{2^n})}

Encadrement de pi par deux méthodes

Posté par
Foxdevil
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 18:10

Oui effectivement, erreur de ma part; on est bon!

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 19:24

Pour 2, j'arrive à démontrer que les suites sont adjacentes mais je ne trouve pas l'expression de an-bn au voisinage de +..

Posté par
Foxdevil
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 19:39

Yona07 @ 19-11-2021 à 19:24

Pour 2, j'arrive à démontrer que les suites sont adjacentes mais je ne trouve pas l'expression de an-bn au voisinage de +..
Pour cela, trouve un équivalent simple de \frac{X(\cos X - 1)}{\sin X} en 0 .

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 20:10

\frac{\cos(X)-1}{\sin(X)}\sim X??

Posté par
Foxdevil
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 20:15

Non

Pour trouver le bon, multiplie en haut et en bas par \cos(X)+1

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 20:50

Foxdevil @ 19-11-2021 à 19:39

Pour cela, trouve un équivalent simple de \frac{X(\cos X - 1)}{\sin X} en 0 .

Vous parlez des équivalents usuels.. 1-\cos(x)\sim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{2} et \sin(x)\sim _{x\rightarrow 0}x

Posté par
Foxdevil
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 20:54

Oui....je proposais une solution pour retrouver celui du cos, mais ok. Avec ça tu peux conclure pour la 2)

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 21:33

Foxdevil @ 19-11-2021 à 17:17

Alors sauf erreur de ma part, je n'ai que des 2 puissances n...et non n+1


Peut-être l'erreur est de ma part, car:

b_n-a_n=\frac{1-\cos(\frac{\pi}{2^n})}{2^{n+1}sin(\frac{\pi}{2^n})}\sim _ {+\infty} \frac{\frac{(\frac{\pi}{2^n})^2}{2}}{\frac{2^{n+1}\pi}{2^n}}=\frac{\pi}{4}(\frac{1}{4})^n

Vous aviez raison.. Mais je ne trouve pas l'erreur dans ma résolution

Posté par
Foxdevil
re : Encadrement de pi par deux méthodes 19-11-21 à 22:40

Non. Tu avais bien la bonne expression il me semble. En vérifiant pour n=2, ça fonctionne. Pas celle que j'avais proposée.

De plus, ça donne la bonne majoration pour la 3)....

peut être une erreur d'énoncé...

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 20-11-21 à 13:56

Bonjour!
Désolée pour le retard..
Pour 3, suffit-il d'étudier la fonction: x|\rightarrow (\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{6})x^3+x-\tan(x) sur : [0;/4]

Puisqu'on a: \sin(x)>x-\frac{x^3}{6}

Et donc:

\tan(x)-\sin(x)<\frac{\sqrt{2}}{2}x^3

Et en prenant:

x=\frac{\pi}{2^n}

On obtient la majoration demandée..

Peut-on déduire qqch de ce qui précède??

Posté par
Foxdevil
re : Encadrement de pi par deux méthodes 20-11-21 à 15:31

Bonjour Yona07,

Bien joué pour la majoration.

On peut y arriver autrement en s'aidant de \sin x < x et 1- \cos x < \frac{x^2}{2} (un tantinet plus simple).

u_n - v_n = 2^n \sin ( \frac{\pi }{2^n} ) ( \frac{1}{\cos (\frac{\pi }{2^n}) } - 1) = 2^n \sin ( \frac{\pi }{2^n} ) ( \frac{1 - \cos (\frac{\pi }{2^n}) }{\cos (\frac{\pi }{2^n}) } ) < 2^n \frac{\pi }{2^n} \frac{  \frac{1}{2} (\frac{\pi }{2^n})^2  }{ \cos (\frac{\pi }{4}) } = \frac{\pi^3 \sqrt{2}}{2} \frac{1}{4^n}

Citation :
Peut-on déduire qqch de ce qui précède??
Hmmmm....à part que u_n et v_n sont aussi adjacentes, je vois pas trop....

Posté par
Yona07
re : Encadrement de pi par deux méthodes 20-11-21 à 15:36

Merci énormément Foxdevil!! ^^

Posté par
Foxdevil
re : Encadrement de pi par deux méthodes 20-11-21 à 16:54



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