Bonjour
Voici mon exercice :
Soit E un K espace vectoriel de dimension 3
Soit tel que et
1. montrer qu'il existe un vecteur de E tel que soit une base de E
2. On note C(u) l'ensemble des endomorphismes de E qui commutent avec u, c'est à dire C(u) =
(a) montrer que C(u) est un espace vectoriel et que C(u) est stable par o
(b) soit . Montrer que ssi il existe tel que
(c) déterminer la dimension de C(u)
Voici mes ébauches de réponse :
1. je ne sais pas par quelle méthode prouver l'existence, peut etre une analyse synthese? dans l'analyse il s'agit de montrer que si un tel existe, alors il n'appartient pas au noyau de u
mais pour montrer l'existence je ne vois pas comment m'y prendre
Comme alors u n'est pas l'application nulle et à fortiori il existe un vecteur qui n'appartient pas au noyau de u
2a. j'ai réussi à montrer que C(u) est un espace vectoriel mais je ne vois pas comment montrer que C(u) est stable par o
2b. j'ai montré l'implication indirecte mais je n'ai pas d'idée pour l'implication directe
2c. je ne suis pas sure mais au vu de la question 2b la famille (IdE,u,u²) est génératrice et donc dim(C(u))= 3
merci par avance pour votre aide
Bonjour,
Tu utilises l'hypothèse pour dire qu'il y a un vecteur dont l'imlage par n'est pas nulle.
C'est un peu petit bras (je blague !). Cette hypothèse veut dire qu'il existe un vecteur dont l'image par n'est pas nulle. Ça, c'est plus fort !
Bonjour Boubounettem.
1- oui, tu commences par dire que tu prends x tel que u²(x)0. Donc u(x)0 et x0.
Supposons qu'il existe a,b,c réels non tous nuls tels que ax+bu(x)+cu²(x)=0.
Considère alors l'expression u²(ax+bu(x)+cu²(x)), puis l'expression u(ax+bu(x)+cu²(x)) ... et conclut.
Bonjour à tous les deux, merci pour vos réponses.
GBZM, oui effectivement, cependant je pensais que la première hypothèse suffisait.
jsvdb, je ne comprends pas bien où vous voulez en venir ni à quelle question vous faites référence...
Je fais référence à la question 1, on va commencer par là.
Qu'est-ce-que tu ne comprends pas dans ce que j'ai écrit ?
Je ne comprends pas pourquoi il faut que a,b, c soient non tous nuls. Pour mon analyse j'avais supposé que e1 existait et j'essayais de trouver une condition sur e1 pour que la famille soit une base. J'ai donc fixé trois vecteurs a,b,c dans R et j'ai supposé que . Alors on montre, par pallication successive de u, que a,b,c sont tous nuls donc que le famille est libre ssi e1 n'est pas dans le noyau de u. Ensuite la famille est génératrice car de même cardinal que la dimension de E.
"GBZM, je comprends bien, mais je ne vois pas ce que je peux en tirer"
Une réponse à la question 1, où on te demande de trouver un vecteur tel que ...
" le famille est libre ssi e1 n'est pas dans le noyau de u. "
C'est FAUX !
Bonjour,
Je me permets une remarque :
Trois vecteurs u, v, w forment une famille libre si et seulement si
au + b v +c w = vecteur nul avec a, b, c réels implique a=b=c=0.
Inutile de supposer les trois réels a, b, c non tous nuls quand on veut démontrer que trois vecteurs forment une famille libre.
GBZM je voulais dire que je ne voyais pas quelle conclusion je pouvais en tirer, il me manque des éléments
Je suis plus à l'aise avec les familles libres qu'avec les intervalles qui sont des fermés même quand ils ne sont pas bornés
Ok merci pour vos réponse, j'ai compris finalement mon erreur,
on fixe e1 dans E privé de 0 tel que
Un tel e1 existe nécessairement puisque u²
Et après on démontre que le famille est libre de la manière usuelle
Cela signifie que:
Pour tout , la composée de v est également dans C(u).
Je me demandais si on pouvait voir cela comme :
A v fixé dans C(u), il s'agit de montrer que pour tout w dans L(E), wov.
Je ne suis pas sure du "pour tout w", j'ai du mal à traduire la stabilité par o
On va reformuler cela :
C(u) est stable par o signifie que o est une loi de composition interne dans C(u), autrement dit : pour tout f et g dans C(u), f o g est dans C(u).
Donc il faut démontrer que f o g est un endomorphisme de E et qu'il commute avec u, c'est-à-dire (f o g) o u = u o (f o g).
D'accord merci beaucoup.
J'ai donc fait :
f o g est un endomorphisme de E car la composée de 2 endomorphismes est un endomorphisme.
Soient f, g ,
car
=u o (f o g) car
Ainsi (fog) commute avec u et donc (fog)
Et donc C(u) stable par o
C'est une excellente idée. Persévère en faisant la même chose pour (en n'oubliant pas que commute avec ).
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