Niveau maths spé

Enoncé d'arithmétique

Posté par
Leamidet 22-05-23 à 15:56

Bonjour,

J'ai rencontré un souci sur l'énoncé suivant :

On considère un entier premier p tel que $p \ge 3$ , un entier $t \in \mathbb{N}^*$ , et des entiers premiers $p_1, ..., p_r$ tels que $\forall i \in [1,r], p_i \equiv 1 \pmod{p^{t}}$ .

On note $a = 2\prod_{i = 1}^{r}p_i$ , $c = a^{p^{t-1}}$ et $m = \sum_{k = 0}^{p-1}c^k$

1) Montrer que $c \equiv 2 \pmod p$
2) Montrer que m est premier avec c - 1
3) Notons q un facteur premier de m. Montrer que $q \equiv 1 \pmod{p^{t}}$
4) Montrer l'existence d'une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo $p^{t-1}$

Pour la question 1, cela se fait sans aucun soucis en raisonnant modulo p.

Par contre, pour la question 2, je me dis qu'il faut que je passe par un raisonnement par l'absurde en supposant l'existence d'un diviseur premier commun à m et c - 1, mais à partir de là je suis un peu perdue et je ne vois pas comment avancer pour arriver à une contradiction.

Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par re : Enoncé d'arithmétique 22-05-23 à 16:33

salut

sauf erreur montrer ca avec le theoreme de bezout ou pgcd( m, c-1)=1

Posté par re : Enoncé d'arithmétique 22-05-23 à 16:52

Bonjour,

On a $m=1+c+\cdots+c^{p-1} = 1+(c-1)+1+\cdots+(c^{p-1}-1)+1=\ldots$

Posté par re : Enoncé d'arithmétique 22-05-23 à 20:00

Bonsoir,
Merci à vous j'ai réussi à trouver grâce à vos indications. Par contre sur la suite, je sèche complètement.

J'ai un bout de piste :
Comme q | m, $q| c^p - 1$ et $c^p = a ^{p^{t}} = 2 ^{p^{t}} \prod_{i = 1}^{r}p_i ^{p^{t}}$ .

Or $\forall i \in [1,r] p_i \equiv 1 \pmod{p^{t}}$

Donc $\prod_{i = 1}^{r} p_i ^{p^{t}} \equiv 1 \pmod{p^{t}}$

D'où $c^p \equiv 2 ^{p^{t}} \pmod{p^{t}}$

Je ne sais pas si ça peut aider pour la question 3.

Posté par re : Enoncé d'arithmétique 22-05-23 à 21:16

Pour la dernière question, c'est congru à 1 modulo $p^t$ ou modulo $p^{t-1}$ ?

Posté par re : Enoncé d'arithmétique 22-05-23 à 21:34

C'est bien $p^t$ . Excusez moi pour la coquille

Posté par re : Enoncé d'arithmétique 23-05-23 à 17:28

Bonjour,

Je voulais résumer mon avancée sur cet énoncé même si je coince toujours à la question 3.

Pour la question 1, avec le théorème de Fermat on montre que $2^{p^{t-1}} \equiv 2 \pmod p$ .
Et comme les $p_i$ sont congrus à 1 modulo $p^t$ , on peut les écrire sous la forme $p_i = 1 + k_i p^t$ .
Donc $p_i^{p^{t-1}} = (1 + k_i p^t)^{p^{t-1}$ .
Avec la formule du binôme de Newton on obtient que $p_i^{p^{t-1}} \equiv 1 \pmod p$ .
D'où en faisant le produit, $c \equiv 2 \pmod p$

Pour la question 2, on suppose l'equiste d'un facteur premier q commun à m et c-1.

Ainsi, $c \equiv 1 \pmod q$ .
On en déduit que q est forcément différent de p puisque $c \equiv 2 \pmod p$ .
De plus on aura $\forall k \in [1,p-1], c^k \equiv 1 \pmod q$ .
Donc en faisant la somme des $c^k$ modulo q, on
a: $m \equiv p \pmod q$ .
Mais q divise m. Il y a contradiction.
Donc c-1 et m sont premiers entre eux

Enfin, pour la question 4, on raisonne également par l'absurde en supposant qu'il existe un nombre fini de nombre premiers congrus à 1 modulo $p^t$ .
On peut également supposer qu'ils sont différents de 1.
Dans ce cas on définit de même a, c et m.

On sait d'après la question 3 que tous les facteurs premiers de m sont congrus à 1 modulo $p^t$ . Il nous suffit donc de montrer qu'aucun des $p_i$ est un facteur premier de m.

On suppose donc qu'il y a au moins un $p_i$ facteur premier de m.
Mais dans ce cas, $\forall k \in [1,p-1] p_i | c^k$ et $p_i |m$ .
Donc $p_i | m - \sum_{i = 1}^{p-1}c^k$ et $m - \sum_{i = 1}^{p-1}c^k = 1$ .
D'où $p_i | 1$ . Ceci est absurde au vu des hypothèses.

Donc aucun des $p_i$ n'est un facteur premier de m. Mais tous les facteurs premiers de m sont congrus à 1 modulo $p^t$ . Ceci nous donne la contradiction finale et permet de conclure.

Par contre, pour la question 3, je n'ai pas beaucoup de pistes. Est-ce que l'un d'entre vous en aurait?
Merci

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