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Niveau maths sup
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ENS calcul du nombre de solutions d'une équation

Posté par
Astarus
11-12-20 à 13:02

Bonjour à tous !

J'explore le programme de sup (je suis en terminale) et je travaille un exercice mêlant complexes et calculs algébriques, extrait ENS, dont voici l'énoncé:

Soit p un nombre premier, p\geq 3, n\epsilon N*, a_{1},..., a_{n}\epsilon N, r_{1},..., r_{n} \epsilon N\{0,1} et F:(Z/pZ)^n\rightarrow Z/pZ qui à (x_{1},..., x_{n}) associe \sum_{i=1}^{n}{a_{i}x_{i}^{r_{i}}}. Soit N le nombre de solutions de l'équation F(x_{1},..., x_{n})=0.

Montrer que N=p^{n-1}+\frac{1}{p}(\sum_{x\epsilon (Z/pZ)*}^{}{(\prod_{i=1}^{n}{(\sum_{y\epsilon Z/pZ}^{}{\zeta^{a_{i}xy^{r_{i}}}})))}}, où \zeta = e^{\frac{2i\pi}{p}}.

Je pense avoir le résultat, mais comme on ne s'aperçoit pas soi-même de ses erreurs (sinon on ne ferait pas d'erreurs...), je me permets de poster ici mon raisonnement dans l'espoir que quelqu'un porte un regard extérieur dessus afin de le valider... ou pas !

On remarque que cette expression est égale à \frac{1}{p}(\sum_{x\epsilon Z/pZ}^{}{(\prod_{i=1}^{n}{(\sum_{y\epsilon Z/pZ}^{}{\zeta^{a_{i}xy^{r_{i}}}})))}}. Il suffit en effet de faire le calcul une fois avec x=0, on obtient bien p^{n-1}.

On utilise ensuite la distributivité généralisée pour inverser la somme et le produit, on obtient :

\frac{1}{p}(\sum_{x\epsilon Z/pZ}^{}{(\sum_{(y_{1},..., y_{n})\epsilon (Z/pZ)^{n}}^{}{(\prod_{i=1}^{n}{\zeta^{a_{i}xy_{i}^{r_{i}}}}}))}.


Ce qui est égal à, en inversant les sommes :
\frac{1}{p}(\sum_{(y_{1},..., y_{n})\epsilon (Z/pZ)^{n}}^{}{(\sum_{x\epsilon Z/pZ}^{}{(\prod_{i=1}^{n}{\zeta^{a_{i}xy_{i}^{r_{i}}}}}))}

Ce qui est égal à :
\frac{1}{p}(\sum_{(y_{1},..., y_{n})\epsilon (Z/pZ)^{n}}^{}{(\sum_{x\epsilon Z/pZ}^{}{\zeta^{xF(y_{1},..., y_{n})}}})}

(on réduit le produit en une seule puissance de \zeta, on factorise l'exposant par x, F(y_{1},..., y_{n}) apparaît alors clairement.

La somme interne est donc une somme de puissances de racines de l'unité, qui vaut 0 sauf si cette racine vaut 1, ce qui n'est le cas que si F(y_{1},..., y_{n})=0, auquel cas la somme interne vaut p puisque x appartient à Z/pZ et que Card(Z/pZ)=p.

La somme externe fait que l'on réitère l'opération pour parcourir toutes les familles (y_{1},..., y_{n})\epsilon (Z/pZ)^{n}, on réitère donc l'opération p^{n} fois.

A chaque fois que (y_{1},..., y_{n})\epsilon (Z/pZ)^{n} est solution, la somme interne vaut p, et on multiplie le tout par p^{n}. le résultat de ces deux sommes combinées doit donc être divisé par p pour obtenir N, qui est donc un entier compris entre 0 (aucune des familles n'est solution) et p^{n} (toutes les familles sont solutions).

Notre grosse expression de départ permet donc bien d'obtenir le nombre de solutions de l'équation F(x_{1},..., x_{n})=0.

Si quelqu'un peut donc me dire si tout cela est juste, je l'en remercie d'avance !

Posté par
perroquet
re : ENS calcul du nombre de solutions d'une équation 11-12-20 à 16:05

Bonjour, Astarus.

Ton raisonnement me semble bon, mais il y a un bout de phrase qui me gêne.

Citation :

A chaque fois que (y_{1},..., y_{n})\epsilon (Z/pZ)^{n} est solution, la somme interne vaut p, et on multiplie le tout par p^{n}. le résultat de ces deux sommes combinées doit donc être divisé par p pour obtenir N, qui est donc un entier compris entre 0 (aucune des familles n'est solution) et p^{n} (toutes les familles sont solutions).



Ce qui me gêne est ceci: " et on multiplie le tout par p^{n}".  Je pense qu'il est préférable de l'enlever.

Posté par
Astarus
re : ENS calcul du nombre de solutions d'une équation 12-12-20 à 15:12

Parfait merci pour votre réponse !

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