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Niveau maths sup
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Ensemble de points

Posté par Lili (invité) 11-09-04 à 19:54

Bonjour,
J'aimerais savoir quelle est la technique générale pour trouver un ensemble de points ?
Par exemple, déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tel que : ((z-1)/(z+1))^3 appartient à R-*

merci

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Ensemble de points 11-09-04 à 21:45

Une façon parmi d'autres:

z = x + iy

(z-1)/(z+1) = (x-1 + iy)/(x+1 + iy)
(z-1)/(z+1) = (x-1 + iy)(x+1-iy)/[(x+1 + iy)(x+1-iy)]
(z-1)/(z+1) = (x²-1 + y² + 2iy)/[(x+1)² + y²]


[(z-1)/(z+1)]³ = (x²-1 + y² + 2yi)³/[(x+1)² + y²]³

[(z-1)/(z+1)]³ = [(x²-1 + y²)³ + 6(x²-1+y²)²yi -12(x²-1+y²)y² -8y³i]/[(x+1)² + y²]³

Le dénominateur est > 0 pour tout x.

Il faut que la partie imaginaire soit nulle ->
6(x²-1+y²)²y - 8y³ = 0

Il faut que la partie réelle soit < 0 ->
(x²-1 + y²)³-12(x²-1+y²)y² < 0
---
6(x²-1+y²)²y - 8y³ = 0
y = 0 et

6(x²-1 +y²)² = 8y²
(x²+y²-1)² = (4/3)y²
x²+y²-1 = +/-(2/V3)y

x² + y² +/- (2/V3)y = 1

x² + (y +/- (1/V3))² = 1 + (1/3)

x² + (y +/- (1/V3))² = 4/3

Soit 2 cercles de rayon = 2/V3 et centré l'un sur le point de coordonnées (0 , 1/V3) et l'autre sur le point de coordonnées (0, -1/V3).

Il reste à trouver quelles parties de ces 2 cercles conviennent en partant des conditions imposées par: (x²-1 + y²)³-12(x²-1+y²)y² < 0
----
A toi de continuer.

Sauf distraction.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Ensemble de points 11-09-04 à 21:55

Zut j'ai oublié que y = 0 convenait aussi
-> En plus des 2 cercles, il faut ajouter l'axe des réels.

Il faut aussi chercher la partie qui convient à partir des conditions imposées par  (x²-1 + y²)³-12(x²-1+y²)y² < 0

(Sans oublier de vérifier mes calcul).




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