Bonjour,
J'aimerais savoir quelle est la technique générale pour trouver un ensemble de points ?
Par exemple, déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tel que : ((z-1)/(z+1))^3 appartient à R-*
merci
Une façon parmi d'autres:
z = x + iy
(z-1)/(z+1) = (x-1 + iy)/(x+1 + iy)
(z-1)/(z+1) = (x-1 + iy)(x+1-iy)/[(x+1 + iy)(x+1-iy)]
(z-1)/(z+1) = (x²-1 + y² + 2iy)/[(x+1)² + y²]
[(z-1)/(z+1)]³ = (x²-1 + y² + 2yi)³/[(x+1)² + y²]³
[(z-1)/(z+1)]³ = [(x²-1 + y²)³ + 6(x²-1+y²)²yi -12(x²-1+y²)y² -8y³i]/[(x+1)² + y²]³
Le dénominateur est > 0 pour tout x.
Il faut que la partie imaginaire soit nulle ->
6(x²-1+y²)²y - 8y³ = 0
Il faut que la partie réelle soit < 0 ->
(x²-1 + y²)³-12(x²-1+y²)y² < 0
---
6(x²-1+y²)²y - 8y³ = 0
y = 0 et
6(x²-1 +y²)² = 8y²
(x²+y²-1)² = (4/3)y²
x²+y²-1 = +/-(2/V3)y
x² + y² +/- (2/V3)y = 1
x² + (y +/- (1/V3))² = 1 + (1/3)
x² + (y +/- (1/V3))² = 4/3
Soit 2 cercles de rayon = 2/V3 et centré l'un sur le point de coordonnées (0 , 1/V3) et l'autre sur le point de coordonnées (0, -1/V3).
Il reste à trouver quelles parties de ces 2 cercles conviennent en partant des conditions imposées par: (x²-1 + y²)³-12(x²-1+y²)y² < 0
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A toi de continuer.
Sauf distraction.
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