salut,

En remplacant zA et zB par leurs expressions et z par x+iy(x et y réels),
tu obtient une expression de Z :
Z = [x²+y²-2x+3y+2 + i(-x+2y+4)] / [x²+(y+2)²]
Re(Z) = (x²+y²-2x+3y+2) / [x²+(y+2)²]
Im(Z) = (-x+2y+4) / [x²+(y+2)²]

Question 1 :
Z est réel ssi Im(Z) = 0
(-x+2y+4) / [x²+(y+2)²] = 0
-x+2y+4 = 0
2y = x-4
y = (1/2)x - 2
L'ensemble de points est la droite d'équation : y = (1/2)x - 2

Question 2 :
Z est imaginaire pur ssi Re(Z) = 0
(x²+y²-2x+3y+2) / [x²+(y+2)²] = 0
x²+y²-2x+3y+2 = 0
(x - 1/2)² + (y + 3/2)² + 2 - 1/4 - 9/4 = 0
(x - 1/2)² + (y + 3/2)² = 1/4 + 9/4 - 2
(x - 1/2)² + (y + 3/2)² = 2
L'ensemble des points est le cercle de centre (1/2;-3/2) et de rayon 2.

voila pour les deux premières questions...
pour la 3e, je ferai plus tard... je dois partir. dsl
a+

Commençons par calculer Z :
Z = (z - z_A)/(z - z_B)
= (z - 2 + i)/(z + 2i)
= (x-3+i(y+1))/(x+i(y+2))
=[(x-2+i(y+1))(x-i(y+2))]/[x²+(y+2)²]
= (x²+y²+3y-2x+2) / (x²+(y+2)²) + i (-x+2y+4)/(x²+(y+2)²)

avec z = x + iy
x et y deux nombres réels


- Question 1 -
Z est un nombre réel si et seulement si
(x²+y²+3y-2x+2) / (x²+(y+2)²)0
et
(-x+2y+4)/(x²+(y+2)²) = 0

avec x 0
et
y -2

L'ensemble cherché est donc la droite d'équation y = 1/2 x - 2 privé du
point (0; -2).


- Question 2 -
Z est un imaginaire pur si et seulement si
(x²+y²+3y-2x+2) / (x²+(y+2)²) = 0
et
(-x+2y+4)/(x²+(y+2)²) 0

avec x 0
et
y -2

x² + y² + 3y - 2x + 2 = 0
équivaut à
(x - 1)² + (y + 3/2)² = 5/4

L'ensemble cherché est donc le cercle de centre (1; -3/2) et de rayon 5/2
privé du point de coordonnées (0; -2).


- Question 3 -
|Z| = 1
équivaut à
|(z - z_A)/(z - z_B)| = 1
AM/BM = 1
AM = BM

L'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment [AB].

Vérifie les calculs, bon courage ...

Arf, pile la même heure dis donc
Mais je pense que tu as du faire une petite erreur de calcul dans la deuxième
question
Bisous Tiou, à plus