Niveau Reprise d'études

Ensemble de solution d'une inégalité (cercle)

Posté par
Supradyn 25-09-16 à 18:04

Bonjour,

J'ai un exercice assez simple à réaliser: je dois dessiner des ensembles et des intersections et unions d'ensembles.

J'ai juste eu un petit souci par rapport à un ensemble qui est le suivant:

$Y := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 \ge 1 \}$

Avant de réaliser qu'il s'agissait de l'équation d'un cercle, j'ai tenté de trouver l'ensemble des solutions de l'inégalité $x^2+y^2 \ge 1$ . Or... je n'y suis pas arrivé!

J'ai d'abord considéré le cas "égalité", i.e. $x^2+y^2 = 1$ . Dans ce cas, on a:
$y^2 = 1-x^2$
$\Leftrightarrow y= \pm \sqrt{1-x^2}$

Comme on cherche des solutions dans $\mathbb{R}$ , j'en ai alors déduit que $x \in [-1;1]$ . J'ai donc trouvé une petite partie de mon ensemble de solution.

Ensuite est venu le cas "inégalité", i.e. $x^2+y^2 > 1$ . Dans ce cas, on a:
$y^2 > 1-x^2$

Et c'est là que les choses se compliquent pour moi. Comme j'aimerais utiliser une racine de chaque côté de mon signe ">" mais que je ne connais pas le signe de l'élément de droite, je ne sais pas si j'ai le droit d'utiliser une racine. Et par conséquent, je n'arrive pas à déterminer l'ensemble de solutions de mon inégalité... je suis un peu perdue.

J'ai beau eu chercher des infos sur internet, il n'y avait rien qui correspondait vraiment à cette situation. Du coup, une âme plus éclairée que la mienne serait la bienvenue pour m'aider à résoudre ce problème

Merci d'avance et bonne soirée!

Posté par re : Ensemble de solution d'une inégalité (cercle) 25-09-16 à 18:09

Bonjour

Si $|x | \geq 1$ on a $1-x^2\leq 0$ donc $y^2\geq 1-x^2$ est vrai pour tout $y$

Posté par re : Ensemble de solution d'une inégalité (cercle) 03-10-16 à 18:46

Bonjour,
Pour le faire autrement.
Admettons le point O de coordonnée (0;0).
x²+y²=1 revient à dire que OM² = 1 donc OM = 1.
L'ensemble des points qui verifient cela est le cercle de rayon 1 et de centre O.

Maintenant pour le cas OM² >= 1 c'est tous les points en dehors du cercle avec les points du cercle soit |R² privé des points interieurs au cercle.