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Ensemble de suites

Posté par
Noctyle 28-06-23 à 19:28

Voici un exercice posé à un oral Mines-Télécom :

Soit a un réel strictement positif tel que a \neq 1 .

On pose S_d l'ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence :u_{n+1} = a u_n + P(n)

où P est dans \mathbb{R}_d[X], avec d entier non nul.

Questions :

1) Montrer que P est unique : on le notera alors P_u.

2) On pose la fonction \phi : u \in S_d \longmapsto P_u

Donner une base de Ker \phi.

3) Donner une base de S_d

Indication : utiliser le polynôme R_k = (X+1)^k - X^k pour k \in [0,d] \cap \mathbb{N}

Mes réponses :

1) La relation de récurrence u_{n+1} - a u_n définit une suite de manière unique (en fonction de u0). Donc on a une infinité de valeurs de P en des entiers ce qui permet de dire qu'il est unique pour cette suite elle-même unique.

2) Si u \in Ker(\phi), alors elle vérifie : u_{n+1} = a u_n donc les suites géométriques de raison a.

Donc u \in Ker(\phi) \Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_0 a^n

Donc une base du noyau de phi est u_0

3) Aucune idée, je ne vois d'ailleurs pas le rapport avec le polynôme...

Merci d'avance !

Noctyle.

Posté par
verdurinre : Ensemble de suites 28-06-23 à 19:46

Bonsoir,
une base de \ker(\phi) est formée d'éléments de S_d.
Tu as pratiquement démontré que \ker(\phi) est de dimension 1. Il reste donc à trouver un élément non nul de \ker(\phi).

Posté par
Noctylere : Ensemble de suites 28-06-23 à 20:47

Donc, par exemple, 2 \times a^n est une base de Sd ?

Posté par
verdurinre : Ensemble de suites 28-06-23 à 21:33

Non.
Mais si (u_n) est la suite définie par u_n=2 \times a^n alors \Bigl((u_n)\Bigr) est une base de \ker(\phi).
Une base de S_d a plus d'éléments.
Tu peux essayer de trouver une base de S_0 puis de S_1 pour commencer.

Posté par
Noctylere : Ensemble de suites 28-06-23 à 22:35

Mes excuses, je voulais écrire "une base de Ker(\phi)" ! Donc il me semble que cela répond à la question 2.

Pour S_0 par exemple : il s'agit des polynômes constants, que l'on peut écrire P=\lambda \in \mathbb{R}

La relation de récurrence devient donc : u_{n+1} = a u_n + \lambda, ce qui fait de S_0 l'ensemble des suites arithmético-géométriques.

Si l'on pose r = \dfrac{\lambda}{1-a}, on a la relation :

u_n = a^n(u_0-r) + r ce qui permet d'en poser une base facilement (dimension 1) comme vu précédemment.

Pour S_1 ensuite : elles vérifient la relation u_{n+1} = a u_n + (\mu n + \lambda)

Aller plus loin me paraît compliquée. Une formule générale est-elle trouvable ? Faut-il seulement la trouver ?

Posté par
verdurinre : Ensemble de suites 28-06-23 à 23:21

J'ai l'impression que tu ne comprends pas l'exercice.
Il manque une question : justifier que S_d est un espace vectoriel sur \R.

Ensuite on ne demande pas de « formules » mais une liste d'éléments ( b_0, b_1, \dots , \b_m) de S_d telle que tout élément de S_d soit une combinaison linéaire d'éléments de cette liste.

Posté par
verdurinre : Ensemble de suites 28-06-23 à 23:27

Correction :

Citation :
une liste d'éléments( b_0, b_1, \dots , b_m) de S_d telle que tout élément de S_d soit une combinaison linéaire d'éléments de cette liste.

Posté par
luzakre : Ensemble de suites 01-07-23 à 08:24

Bonjour !
Cet énoncé me semble bizarre !
Pourquoi le polynôme dépend-il de la suite ? Comment peut-on alors parler d'un ensemble de suites ?

Je verrais bien un polynôme P donné et considérer l'ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence.

Si P est nul il est classique que S est la droite engendrée par la suite géométrique n\mapsto a^n.

Sinon il suffit de connaître une suite solution et les obtient toutes en ajoutant une suite géométrique.

Comment trouver une suite solution ? Là aussi il est classique d'imiter ce qui se passe pour les équations différentielles et "faire varier la constante".

Par exemple, on peut chercher une suite de  la forme n\mapsto \lambda_n \,a^n et on obtient facilement \lambda_n=\lambda_0+\sum_{0\leqslant k\leqslant n}\dfrac{P(k)}{a^k}

Posté par
GBZMre : Ensemble de suites 01-07-23 à 15:04

Bonjour,
Cet énoncé n'a rien de bizarre.
Pourquoi le polynôme dépendrait-il de la suite ?  Parce que l'espace vectoriel S_d est défini comme cela :
\large S_d=\left\{(u_n)_{n\in \mathbb N} \in \mathbb R^{\mathbb N}\mid \exists P\in \mathbb R_d[X]\ \forall n\in \mathbb N\ u_{n+1}=au_n +P(n)\right\}
On pourrait reprocher à l'exercice de ne pas donner clairement l'ordre des quantificateurs, mais peut-être est-ce dû à la transcription qu'en a faite Noctyle.


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