Ensemble dénombrable

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Ensemble dénombrable 
Posté par 
Jepoti213  19-10-21 à 11:32
Soit E un ensemble infini non dénombrable.

Soit B = { A  E tel que A dénombrable ou E\A dénombrable}

Pour A  B, (A) = 0 si A dénombrable et (A)=1 si E\A dénombrable



Question :

Montrer que  est une mesure.



1) Pour tout A  B, (A)0

2)  est dénombrable donc ()=0

3) Soit An  B, n entier naturel, 2 à 2 disjoints.

3)1_ Supposons que les An sont dénombrables alors (An) = 0 pour tout entier naturel n

Donc  (An) =  0 = 0 pour n entier naturel 



Mais j'ai un problème quand j'arrive à l'union.

Je sais que la réunion FINIE d'ensemble dénombrable est dénombrable. Mais ici l'union des An pour n entier naturel est infinie non..?
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lionel52re : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 11:47
Hello ! Lis bien ! B n'est pas l'ensemble des parties dénombrables de E
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Jepoti213re : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 11:52
Je ne comprends pas le rapport entre ma question et ta réponse..?
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jsvdbre : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 12:08
Bonjour Jepoti213.



3) Si dans ta famille de (A_n), il se trouve au moins une partie codénombrable (ie de complémentaire dénombrable), alors alors la réunion de ta famille est codénombrable et donc la mesure de la réunion est 1. S'il n'y en n'a pas, alors, la réunion des An est dénombrable et la mesure de la réunion est 0.
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Jepoti213re : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 12:19
Dans cette situation là que peux tu dire de l'union des An pour n entier naturel et pourquoi..? (Je comprends pas vraiment…)
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jsvdbre : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 12:46
Ta famille de  est composée de parties dénombrables de E et de parties codénombrables.



Si dans cette famille, il y a AU MOINS une partie codénombrable alors  est une partie codénombrable de E. Donc 

Si dans cette famille, il n'y a AUCUNE partie codénombrable (donc tous les  sont dénombrables) alors  est une partie dénombrable de E. Donc 
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Jepoti213re : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 14:15
Si je suppose que les An sont tous dénombrables alors l'union des An sur n entier naturel est forcément dénombrable même si c'est pas fini ??
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Jepoti213re : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 14:16
Même si l'union est infinie ?
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jsvdbre : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 14:29
Une réunion dénombrable d'ensemble dénombrables est dénombrable.

Donc si les  sont dénombrables, alors  est dénombrable. 



Donc  et 
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jsvdbre : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 14:32
Et du coup on a bien 

Même pas besoin de se poser la question de savoir si les  sont mutuellement disjoints ou pas !
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Jepoti213re : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 14:34
Mais la réunion est dénombrable alors que c'est n entier naturel (= infinie ??)
 Posté par 
jsvdbre : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 14:35
Je ne comprends pas ta question 
 Posté par 
lionel52re : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 14:35
Par contre ce qui sera un tout petit peu plus dur, c'est de montrer que si  avec les  disjoints, que 



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Jepoti213re : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 14:39
Je crois que je n'ai rien compris à la dénombrabilité 
 Posté par 
jsvdbre : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 14:41
Tout-à-fait mon cher Lionel. Ce qui marchait avec le dénombrable ne va plus vraiment fonctionner avec le codénombrable.

Mais on va se dire que dès lors qu'on a considéré une partie codénombrable, elle prend tellement de place la grosse égoïste, qu'elle ne laisse plus que des miettes pour d'autres candidats.
 Posté par 
jsvdbre : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 14:43
En gros, dans une ruche, il n'y a qu'une reine. C'est beau !
 Posté par 
jsvdbre : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 14:55
Jepoti213 @ 19-10-2021 à 14:39

Je crois que je n'ai rien compris à la dénombrabilité 

Dénombrable signifie "en bijection avec" : une partie dénombrable d'un ensemble, c'est une partie que tu peux mettre sous forme de suite.

Par exemple,  est dénombrable grâce à la suite 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4 etc

La réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.

Le produit cartésien de n ensembles dénombrable est dénombrable.


Il existe une autre définition de dénombrable qui est "en bijection avec une partie de  (finie ou infinie)".

Personnellement, je préfère la 1ere définition (mais c'est juste perso : ça m'évite de mélanger le fini et l'infini qui ne réagissent pas pareil.)


Mais dans tous les cas, codénombrable signifie "dont le complémentaire est dénombrable".
 Posté par 
Jepoti213re : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 18:40
Donc si tous les An sont dénombrables l'union sur n des An est dénombrable même si l'union est infinie ?
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GBZMre : Ensemble dénombrable   19-10-21 à 19:08
Bonjour,



OUI.

Il faut vraiment que tu te mettes au clair sur la dénombrabilité.



Dans le contexte de l'exercice " dénombrable"  signifie qu'il y a une surjection de  sur  (autrement dit que  est fini ou infini dénombrable).

Et comme il y a une bijection de  sur , on voit facilement qu'une union dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
 Posté par 
Jepoti213re : Ensemble dénombrable   20-10-21 à 14:40
En fait dans ma tête je me suis toujours dit une partie dénombrable c'est une partie qu'on peut compter donc elle doit être finie.. c'est pour cela que je comprenais pas pourquoi l'union des An pour n entier naturel était dénombrable... vu que n est un entier naturel, l'union est infinie
  Posté par 
GBZMre : Ensemble dénombrable   20-10-21 à 16:39
Non, dénombrable veut dire qu'on peut numéroter avec des entiers tous les éléments (éventuellement en attribuant plusieurs numéros à un même élément).