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Ensemble des points M

Posté par
pikozie 05-03-22 à 18:26

Bonsoir... Encore besoin d'aide pour ce sujet:

Soit A(1; 0) et B( -1; 0) deux points du plan. Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que : MO=MA×MB

J'ai traduit : x²+y²=[(x-1)²+y²].[(x+1)²+y²] ..... J'ai un peu continuer : 5x²+y²=(x²+y²+1)². Et là je sais plus quoi faire...

Merci d'avance...

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 18:50

Bonjour,

Il n'y a pas grand chose à faire; on peut un peu réduire l'équation pour obtenir :

  (x^2+y^2)^2+y^2-3x^2+1=0

Ce qui donne ceci :

Ensemble des points M

Je pense qu'il s'agit d'ovales de Cassini ici :

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 18:53

En terminale, le mieux que tu puisses faire :

Une équation bicarrée : y^4+f(x)y^2+g(x)=0

Tu sors y mais ça va être infernal ....

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 18:56

Et j'ai mal "pensé" : ce ne sont pas des ovales de Cassini.

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 19:02

Je suis maintenant persuadé que tu as une erreur d'énoncé :

  

Citation :
Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que : MO=MA×MB


Avec MO^{{\red 2}}=MA.MB, les choses iraient beaucoup mieux !

Posté par
pikoziere : Ensemble des points M 05-03-22 à 19:33

Sauf erreur du livre, sinon je viens de vérifier et c'est bien écrit comme ça

Posté par
pikoziere : Ensemble des points M 05-03-22 à 19:35

Donc je vais me frotter à d'autres exercices... Merci beaucoup !

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 19:35

Alors si tu persistes avec ton énoncé, je ne peux rien faire pour toi...

Posté par
pikoziere : Ensemble des points M 05-03-22 à 19:39

pikozie @ 05-03-2022 à 19:35

Donc je vais me frotter à d'autres exercices... Merci beaucoup !


Non je ne persiste pas du tout...

J'ai décidé de passé. Parceque s'il ya un carré nous arrivons aux ovales de Cassini... Mais cela n'est pas au programme cette année.

Merci

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 19:43

Tu pourrais tout de même tenter l'exercice que je te propose :

Citation :
Trouver l'ensemble des points M tels que MO^2=MA.MB


Tu te retrouveras immédiatement en "pays connu"

Posté par
pikoziere : Ensemble des points M 05-03-22 à 19:47

Oui Je veux comprendre. Alors comment on s'y prend pour la construction ?

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 19:50

Tu peux commencer par le faire analytiquement (comme tu as commencé au début de ce topic). Les choses se passent trèèès bien.

Si tu veux, ensuite, nous verrons une méthode plus "géométrique".
Mais maintenant, je dois faire une pause...

A plus tard ...

Posté par
pikoziere : Ensemble des points M 05-03-22 à 19:54

Ok... À plus tard

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 21:22

Alors, as-tu une équation cartésienne de l'ensemble cherché ?

Posté par
pikoziere : Ensemble des points M 05-03-22 à 22:08

J'ai (x²+y²)²+4x²=(x²+y²+1)²

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 22:11

Oui, développe les deux membres et simplifie tout ça ...

Posté par
pikoziere : Ensemble des points M 05-03-22 à 22:25

On a: (x²+y²)²+4x²=(x²+y²)²+2x²+2y²+1
=> 2x²-2y²=1

Posté par
pikoziere : Ensemble des points M 05-03-22 à 22:27

Je penses que c'est une hyperbole

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 22:32

Tout à fait !

qu'on peut écrire aussi :

  \dfrac{x^2}{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}-\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=1

C'est donc l'équation d'une hyperbole avec :

   a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2} d'où c^2=a^2+b^2=1 donc c=1 et e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{2}

C'est donc l'hyperbole de foyers A et B d'excentricité \sqrt{2}.

Je te laisse digérer ça avant de reprendre avec une méthode géométrique.

Posté par
pikoziere : Ensemble des points M 05-03-22 à 22:35

Ok... Je suis persuadé qu'il devait avoir le carré... Merci beaucoup

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 22:49

J'ajoute que c'est une hyperbole équilatère d'asymptotes d'équations y=\pm\,x

Ensemble des points M

Venons-en à la géométrie :

On cherche à évaluer (MA-MB)^2 (sans vecteurs).

(MA-MB)^2=MA^2+MB^2-2MA.MB

  avec l'hypothèse de l'énoncé MA.MB=MO^2, il vient :

(MA-MB)^2=MA^2+MB^2-2OM^2

(MA-MB)^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2-2OM^2

après développement/réduction :

  (MA-MB)^2=OA^2+OB^2=2

soit |MA-MB|=\sqrt{2}

qui caractérise l'hyperbole de foyers A et B avec 2a=\sqrt{2}

On est bien retombé sur nos pieds

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 22:53

Une erreur ici :

   (MA-MB)^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{O{\red B}})^2-2OM^2

Posté par
pikoziere : Ensemble des points M 05-03-22 à 23:17

Oui !

Merci pour votre présence lake, vos sourires (), vos délicates attentions ("je vais ajouter que..." "Celà mérite.."). J y ai été très sensible. Grâce à vous ces exercices qui me semblait impossible sont enfin à ma portée, je pense que je vais l'expliquer à mes collègues de recherche ( je ne les cherchais pas seule)... Encore merci

Posté par
lakere : Ensemble des points M 05-03-22 à 23:18

Posté par
lakere : Ensemble des points M 06-03-22 à 12:26

Bonjour,

Citation :
Et j'ai mal "pensé" : ce ne sont pas des ovales de Cassini.


Je viens de découvrir qu'il s'agissait d'une "Spirique de Persée"   résultant entre autres de la section d'un tore par un plan parallèle à son axe.

Posté par
larrechre : Ensemble des points M 06-03-22 à 12:35


L'essentiel étant de retenir qu'il s'agit d'une variété de cyclique dont la déférente est une conique à centre

Posté par
lakere : Ensemble des points M 06-03-22 à 12:40



Bonjour larrech

Posté par
larrechre : Ensemble des points M 06-03-22 à 12:47

Bonjour lake

Les maths, c'est de la pure poésie, mais de le poésie à la Mallarmé...


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