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Niveau Reprise d'études
Ensemble quotient
Posté par Autodidacte33
Bonjour,
J'essaye de démontrer la proposition suivante:
Citation :
Soient
un ensemble non vide dans lequel on définit la relation d'équivalence 
.
L'ensemble quotient
forme une partition de
Soient
L'ensemble quotient
Si on note
D'après le cours:
Citation :
Soient et 
deux ensembles non vides, soit _{i \in I} )
une famille d'éléments de )
.
On dit que_{i \in I})
est une partition de si :
 \in I^2 \; : \; i \neq j \Leftrightarrow A_{i} \cap A_{j} = \emptyset.)
Soient
On dit que
Alors, je crois que pour montrer que
1-
2-
3-
Preuve:
1-
On a
Donc
Il s'ensuit que
2-
Soient
Raisonnons par contraposée:
Supposons que:
Alors
On en tire que:
Donc
on en déduit que
(Proposition fournit dans le cours et facile à démontrer:
3- Là je bloque
Pouvez-vous m'aider à démontrer la 3 ?
Merci!
Bonjour
Pour montrer que l'union des classes est E, montre qu'il y a double inclusion entre ces deux ensembles
(une des deux inclusions est triviale)
Salut Zormuche,
Merci pour votre réponse.
Ah je vois! alors:
- Montrons
Soit .
On a alors et donc
D'où le résultat
- Montrons que
Soit
Là je bloque encore 
Salut Ramanujan.
Oh c'est facile en fait, je comprend, merci
Juste un tout petit truc, ce n'est pas à la place de =?
Non c'est bien égal. Un élément qui appartient à une union de classes d'équivalences est bien une classe d'équivalence.
Mais ici inutile d'aller dans le formalisme. Une classe d'équivalence est une partie de E.
Non, c'est bien a inclus dans Cl(x)
Sinon, pour montrer que l'union des classes est une partie de E, il suffit de dire que chaque classe est une partie de E, comme a dit Ramanujan
La vraie partie "dure" pour montrer que c'est une partition, tu l'as déjà fait, c'est montrer que deux classes sont soit égales, soit disjointes
Bonjour
@Ramanudjan tu as oublié une certaine interdiction!!
Je suis obligé de rectifier.
@Pour autodidact 33.
1. D'abord dire que est une évidence.
En fait, par définition, une classe Cl(x) d'un élément x de E est un sous ensemble de E et une réunion de sous-ensembles de E est encore un sous-ensemble de E.
C'est pas la peine d'en dire plus.
Maintenant si on veut couper les cheveux en 4 (même si je n'en vois pas l'intérêt) et bien faut pas dire n'importe quoi comme le fait @Ramanudjan, qui n'a pas encore compris la différence entre élément d'un ensemble et sous-ensemble d'un ensemble.
Alors si alors il existe
tel que
et non comme ou a inclus dans