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Ensembles de Points Equidistants de droites

Posté par Enigma (invité) 07-05-05 à 01:10

slt a tous, je suis nouvelle ici et je decouvre votre site qu'il a l'air super d'autant que vous etes dotés du LaTex que je maitrise parfaitement ; alors voila mon probleme que je vous met en entier car je pense que c plus judicieux.

_________________________________________________________________________

On se propose d'etudier l'ensemble, noté 3$\sum des points de l'espace equidistants de deux droites 3$D et 3$D^' non coplanaire et orthogonales. L'espace est muni d'un repere orthonormal 3$(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k}).
La droite 3$D passe par le point 3$A de coordonées 3$(0;0;1) et admet comme vecteur directeur 3$\vec{u} tel que 3$\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}.
La droite 3$D^' passe par le point 3$B de coordonées 3$(0;0;-1) et admet comme vecteur directeur 3$\vec{v} tel que 3$\vec{v}=\vec{i}-\vec{j}


3$\rm\blue 1)
3$\rm\red a]
Verifier que 3$D et 3$D^' sont non coplanaire et orthogonales.

3$\rm\red b]
Montrer que le point 3$O appartient à 3$\sum


3$\rm\blue 2)
3$\rm\red a]
Montrer qu'une representation parametrique de 3$D est :
4$\rm\{{x=t\\y=t\\z=1}, t\in\mathbb{R}

3$\rm\red b]
3$M est un point de l'espace de coordonées 3$(x;y;z), determiner les coordonées du projeté orthogonal de 3$M sur la droite 3$D, en deduire la distance de 3$M à la droite 3$D.


3$\rm\blue 3)
Calculer de meme la distance de 3$M a la droite 3$D^'


3$\rm\blue 4)
En deduire que 3$M appartient à 3$\sum si et seuleument si on a : 3$xy+2z=0


3$\rm\blue 5)
Deduire de cette relation :

3$\rm\red a]
Que les intersections de 3$\sum avec des plans orthogonaux à la droite 3$(AB) sont en general des hyperboles. Preciser le cas d'exception ;

3$\rm\red b]
La nature des intersections de 3$\sum avec des plans orthogonaux a l'axe 3$(O;\vec{i}) ou a l'axe 3$(O;\vec{j})

_________________________________________________________________________

voila j'ai fait le plus claire que j'ai pu ; je prend des cours par correspondances et il est pour moi tres difficile de faire de tels exercices ; je bloque des la premiere question ... c un camarade qui m'a conseiller ce site et j'espere que vous pourrez faire quelque chose pour moi et en tout cas merci quand meme.

Posté par Enigma (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 07-05-05 à 16:19

slt a tous,

personne ne peut vraiment m'aider ?

Posté par rolands (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 07-05-05 à 19:20

Bonjour Enigma ,
1)a._Les droites D et D' sont // xOy et ont des vecteurs drirecteurs
non // ,elles ne sont pas dans un même plan .
_____Produit scalaire u.v=0 >>>   D et D'sont orthogonales .
1)b_OA est perpendiculaire à D et vaut 1,c'est la distance de O à D. ____De même OB =1 est la distance de B à D':donc O est dans Sigma.
2)a._D // xOy donc z=1 , D se projette sur xOy selon la bissectrice de xÔy , donc x=y  >>> d'où l'équation paramétrique de D .
2)b._essaie de poursuivre ,et exprime les difficultés que tu peux rencontrer ...
Bon courage .

Posté par Enigma (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 07-05-05 à 20:03

bonjour a tous ,

salut rolands voila ce que je comprend de ce que vous m'avez mis :

3$\textrm \blue 1)
3$\textrm \red a]

Le vecteur directeur de la droite 3$D etant 3$\vec{u}=\vec{i}+\vec{j} et le vecteur de la droite 3$D^' etant 3$\vec{v}=\vec{i}-\vec{j}, nous avons :

3$\vec{u}.\vec{v}=(\vec{i}+\vec{j}).(\vec{i}-\vec{j})=\vec{i}^2-\vec{j}^2

or 3$\vec{u}=\vec{j} ceux-ci etant des vecteurs unitaires soit :
3$\vec{u}^2=\vec{j}^2 donc 3$\vec{u}^2-\vec{j}^2=0 d'ou 3$\vec{u}.\vec{v}=0

d'ou le fait que 3$D et 3$D^' soient orthogonales.  

Ensuite je ne comprends ceci : Les droites D et D' sont // xOy et ont des vecteurs drirecteurs non // ,elles ne sont pas dans un même plan


3$\textrm \red b]
3$\vec{OA}\begin{pmatrix}x_A-x_O\\y_A-y_O\\z_A-z_O\end{pmatrix}  soit 3$\vec{OA}\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\1-0\end{pmatrix} c'est a dire 3$\vec{OA}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} et donc 3$OA=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=\sqrt{1^2}=1

de même :
3$\vec{OB}\begin{pmatrix}x_B-x_O\\y_B-y_O\\z_B-z_O\end{pmatrix}  soit 3$\vec{OB}\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\-1-0\end{pmatrix} c'est a dire 3$\vec{OB}\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix} et donc 3$OB=\sqrt{0^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{(-1)^2}=1

donc 3$O est equidistant de 3$A et 3$B  ; or 3$A appartient a 3$D et 3$B appartient a 3$D^' donc 3$O est equidistant de 3$D et 3$D^' et appartient donc à 3$\sum par definition de cette ensemble.


3$\textrm \blue 2)
3$\textrm \red a]
Ensuite je ne comprends ceci :D // xOy donc z=1 , D se projette sur xOy selon la bissectrice de x0y , donc x=y  >>> d'où l'équation paramétrique de D.

___________________________________________________________________

visiblement j'ai du mal a comprendre ceci xOy

merci pour le temps que vous consacrer pour moi.





Posté par Enigma (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 07-05-05 à 21:55

rebonsoir a tous ,

j'ai pu a l'aide d'un logiciel tenté une representation de la situation en esperant que cela puisse m'aider mais en vain ; je vous joint le document

merci pour l'aide.

Ensembles de Points Equidistants de droites

Posté par rolands (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 07-05-05 à 23:11

Ce n'est pas tout à fait cela : U n'est pas un vecteur unitaire,les vecteurs unitaires sont i ,j et k .
u.v =i²-j²=(1)-(1)=0 (car i et j sont unitaires).
Pour la question 1)b) Tu te compliques la tâche:OA a pour longueur 1
par définition du point A . De même OB=1 .
2)a_ D a pour vecteur directeur u=i+j ,on voit que la composante de u sur l'axe Oz est nulle ;donc u (et donc D) est // au plan (Ox,Oy) qu'on désigne xOy .
i+j est la bissectrice de l'angle xOy : un point de cette bissectrice est à égale distance de Ox et de Oy ,c'est à dire que ce point aura une abscisse = à son ordonnée ,c'est ce que je note x=y ;c'est aussi le cas pour un point de D.
Tous les points de D ont z=1 et x=y :d'où l'équation paramétrique de D : x=t , y=t ,z=1.
J'espère que tu as compris,pose des questions,tu auras l'aide que tu souhaites.
Je continue tout à l'heure .    

Posté par rolands (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 08-05-05 à 00:02

2)b._ M (x,y,z) soit X un point de D : X (t,t,1).
_____MX a pour composantes (t-x;t-y;1-z).
_____MX²=(t-x)²+(t-y)²+(1-z)²=2t²-2t(x+y)+x²+y²+z²-2z+1 .
_____MX² sera minimum quand sa dérivée (MX²)' sera nulle,et alors X   ______sera la projection H de M sur D.
__ (MX²)'=4t-2(x+y) sera nul pour t=(x+y)/2.
__ H a donc pour coordonnées ((x+y)/2;(x+y)/2;1)
d'où MH² , d'où MH .
3) Même chose pour avoir la distance de M à D'.
4) En écrivant que les distances de M à D et D' sont égales ...
...........dis moi où tu en es ...    

Posté par Enigma (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 08-05-05 à 00:06

rebonsoir a tous,

salut rolands et encore merci pour l'aide que vous m'apporter.

_______________________________________________________________________

en fait je me suis tromper :

3$\rm \blue 1)
3$\rm \red a]
3$\vec{i}=\vec{j} ceux ci etant des vecteurs unitaires soit

3$\vec{i}^2=\vec{j}^2 donc 3$\vec{i}^2-\vec{j}^2=0 d'ou 3$\vec{u}.\vec{v}=0

d'ou le fait que 3$D et 3$D^' soient orthogonales.

Ensuite je ne comprends ceci : Les droites D et D' sont // xOy et ont des vecteurs drirecteurs non // ,elles ne sont pas dans un même plan

j'essaye en ce moment de comprendre la suite.

Posté par Enigma (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 08-05-05 à 00:12

voila ma question precise concernant cette question :

pourquoi le fait qu'un vecteur directeur de 3$D soit 3$\vec{u}=\vec{i}+\vec{j} et qu'un directeur de 3$D^' soit 3$\vec{v}=\vec{i}-\vec{j} montre que 3$D et 3$D^' sont non coplanaires ?

Posté par
Nightmarere : Ensembles de Points Equidistants de droites 08-05-05 à 00:35

Bonjour

Démontrer que le produit vectoriel 3$\rm\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0} ce qui prouvera que tes deux vecteurs donc que les droites ne sont pas coplanaires


Jord

Posté par rolands (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 08-05-05 à 06:11

Bonjour Nightmare ,
Que le produit vectoriel de 2 vecteurs (en l'occurence u et v portés par D et D')soit nul ne suffit pas à démontrer que ces 2 droites ne sont pas coplanaires : il faut de plus que ces 2 vecteurs ne soient pas // (ce qui est le cas) et qu'un point de D' (B) ne soit pas dans le plan (A,u,v).

Posté par rolands (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 08-05-05 à 06:53

Bonjour Enigma ,
Je réponds à ta question :
u.v=0 montre que u et v sont orthogonaux (ce qu'on te demandaient de montrer) et qu'ils définissent une direction de plan : en l'occurence un plan //à xOy.Pour que D et D' ne soient pas coplanaires , il faut préciser que B (porté par D') n'est pas dans le plan //à xOy passant par A .

Posté par rolands (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 08-05-05 à 11:00

Bonjour Enigma ,
je vais terminer car je m'absente pour 8 jours .
3)ATTENTION , une équation paramétrique de D' est (x=t;y=-t;z=-1).
J'espère que tu as trouvé que MH²=(y-x)²/2 +(1-z)²,et si K est la projection de M sur D'        MK²=(x+y)²/2 +(1+z)².
4)En égalant MH²=MK² ...beaucoup de choses s'éliminent et tu trouves :
_____xy+2z=0 ____
5)a)__un plan orthogonal à AB a pour équation z=constante.
      1) si cette constante est non nulle, xy+2z=0 devient xy=Cte , ce qui représente une hyperbole équilatère .
      2) si Cte=0 alors xy=0 qui a pour solutions x=0 et y=0.
         x=0 et z=0   c'est la droite y'Oy
         y=0 et z=0   c'est la droitr x'Ox :l'hyperbole  
         est ramenée à ses axes ,on dit qu'elle est dégénérée.
5)b) raisonne de la même manière , et j'espère que tu y arrives.
...je te souhaite bon courage , accrche-toi .

Posté par Ange38 (invité)re : Ensembles de Points Equidistants de droites 31-01-07 à 15:55

Bonjour à tous !

Je fais remonter à la surface un très vieux post, mais j'ai le même exercice à faire en DM de maths spé. Il y a une question que je n'arrive toujours pas à finir, étant donné en plus qu'il y a une partie de la question que je n'ai pas à faire.

C'est presque la même question que la 2b de l'énoncé plus haut, voici les deux points qui me bloquent :

1- Soit M(x;y;z). Calculer la distance de M à la droite D. (ici, pas de projeté orthigonal)
2- Calculer de même la distance de M à la droite D'.

Je n'arrive pas à obtenir les mêmes distances que celles plus haut, et du coup je ne peux pas avancer sur une autre question qui est la 4 de l'énoncé en début de post.

Merci d'avance à ceux qui pourront me débloquer
A bientôt !


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