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Ensembles et applications : Composition d'applications

Posté par
Autodidacte33 29-03-20 à 18:43

Bonjour,

Je bloque sur l'exercice suivant:

Citation :
Soient E,F,G \text{ et } H quatre ensembles et f,g \text{ et } h trois applications telles que: f:E\rightarrow F\text{ , }g:F\rightarrow G \text{ et }h:G\rightarrow H
Montrer que gof \text{ et } hog sont bijectives si et seulement si f,g \text{ et } h sont bijectives


Mon travail:

\Leftarrow) Soient f,g et h bijectives
Montrons que gof \text{ et }hog sont bijectives

On a: gof:E\rightarrow G

\bullet Soient x,x'\in E tels que: gof(x)=gof(x')
On a:
gof(x)=gof(x')\Longrightarrow g(f(x))=g(f(x'))\underbrace{\Longrightarrow}_{\text{ Car g est injective}} f(x)=f(x')\underbrace{\Longrightarrow}_{\text{ Car f est injective}} x=x'
Donc \boxed{\text{ gof est injective}} (I)

\bullet Soit z\in G
Puisque g est surjective (car bijective), il existe y de F tel que: g(y)=z
Et puisque f est surjective, il existe x de E tel que: f(x)=y

Donc:
z=g(y)=g(f(x))=gof(x)
Donc il existe x de E tel que: gof(x)=z

On en tire que \boxed{\text{ gof est surjective}} (II)

De (I) \text{ et } (II) \text{ : } \boxed{ \text{ gof est bijective}}

De la même manière, en remplaçant dans la démonstration ci-dessus g par h, f par g, E par F, F par G et G par H, on trouve:

\boxed{hog  \text{est bijective}}


\Rightarrow) Soient gof \text{ et }hog bijectives
Montrons que f,g \text{ et }h sont bijectives

Commençons par f et g

\bullet
Soient x,x'\in E tels que: f(x)=f(x')
On a:
f(x)=f(x')\Longrightarrow g(f(x))=g(f(x'))\Longrightarrow gof(x)=gof(x')\underbrace{\Longrightarrow}_{\text{ Car gof est injective}} x=x'

On a alors: \boxed{ f\text{ est injective}}

\bullet
Soit z \in G. La fonction gof étant surjective, il existe x\in E tel que gof(x)=g(f(x))= z, on pose alors y = f(x)
Il existe donc y\in F tel que g(y)= z

On a: \boxed{ g\text{ est surjective}}

Je n'arrive ni à démontrer que  f est surjective, ni que g est injective.

Merci d'avance pour les idées, astuces et explications

Cdt

Posté par
matheuxmatoure : Ensembles et applications : Composition d'applications 29-03-20 à 18:47

bonjour

ok pour ce qui est fait, c'est très bien

avec hog bijective, tu déduiras de la même façon que g est injective et h surjective

donc tu auras g bijective... ça aide ... car elle a une réciproque maintenant ...

tu vois où je veux en venir ?

Posté par
Autodidacte33re : Ensembles et applications : Composition d'applications 29-03-20 à 21:00

Merci matheuxmatou

Bien sûr, il fallait utiliser la bijectivité de gof et celle de hog en même temps, je n'y avais pas pensé!! Par contre, je ne vois pas où il faut faire intervenir l'application réciproque g^{-1}

Je poursuis la \Rightarrow):

(Rappel : On a trouvé jusqu'à présent que  f injective et g surjective)

De la même manière, en remplaçant dans la démonstration ci-dessus  f par g, g par h, gof par hog, E par F, F par G et G par H, on trouve:

\boxed{g \text{ est injective et } h \text{ est surjective}}

Récapitulation:

\bullet f \text{ injective }
\bullet g \text{ bijective }
\bullet h \text{ surjective}

Il ne reste qu'à montrer que f est surjective et h injective:

\bullet

Soit y\in F, notons: g(y)=z\in G

Puisque gof est surjective, il existe x dans E vérifiant gof(x)=z, c'est-à-dire g(f(x))=z
Il s'ensuit que g(y)=g(f(x))
Or, puisque g est injective, y=f(x)

Donc : \boxed{f \text{ est surjective}}

On en déduit que  \boxed{f \text{ est bijective}}

\bullet

Soient y, y'\in G / h(y)=h(y')
Puisque g est surjective, il existe x,x' dans F vérifiant: g(x)=y  et g(x')=y'

Alors: hog(x)=h(g(x))=h(y)=h(y')=h(g(x'))=hog(x')

Or, puisque hog est injective, on obtient  x=x'

Donc g(x)=g(x') et il s'ensuit que y=y'

\boxed{h \text{ est injective}}

On en déduit que  \boxed{h \text{ est bijective}}

Merci de me vérifier

Posté par
Autodidacte33re : Ensembles et applications : Composition d'applications 30-03-20 à 15:01

Posté par
matheuxmatoure : Ensembles et applications : Composition d'applications 30-03-20 à 18:14

une fois que tu as "g bijective" cela devient simple

f = g-1 o (g o f)
h = (h o g) o g-1

sont des composées de bijections, donc bijectives

Posté par
Autodidacte33re : Ensembles et applications : Composition d'applications 30-03-20 à 19:02

Oh là là
Directement...
Merci beaucoup!

Posté par
matheuxmatoure : Ensembles et applications : Composition d'applications 30-03-20 à 23:58

pas de quoi

en fait pour aller au plus simple il suffisait de montrer :

que g surjective avec gof
que g injective avec hog

puis avoir les deux autres avec g-1

Posté par
Autodidacte33re : Ensembles et applications : Composition d'applications 31-03-20 à 14:09

Oui c'est ce que j'ai compris
Cdt

Posté par
matheuxmatoure : Ensembles et applications : Composition d'applications 31-03-20 à 18:01

ce fut un plaisir !


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